平面向量基本定理(二).docx

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1、第二章平面向量一基本概念：1.向量：既有大小，又有方向的量.数量：只有大小，没有方向的量.零向量：长度为0的向量.2.单位向量：是卞卷(长度)为1的向量，若其坐标为(x,y),其中x,y满足x2+y2=13.平行向量)‘(即共线向量)：方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行,4.相等向量：长度相等且方向相同的向量.5.向量的坐标i、j是与x轴、y轴方向相同的单位向量，若a=OA=xi+yj,则A(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=OA=(x,y).二、向量运算：向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连.⑵平行四边形法则的特点：共起点

2、..门J+i=AB+a3=A?bma金:.①.交换律：a+b=b'+a；③a0=0%⑸坐标运算：设a=（x1，y[），b=%，y2）,则a+b=（x,+x2,y[+丫2）.⑶三角形不等式:b

3、；③a（a+b}=^a+九b.」BBC=AC反之AC=.-3BC.--C向量数乘运算:个向量的运算叫做向量的数乘，记作九a.a，；②当九a0时，九a的方邛与a的方向相同；当儿＜0时，九a的方向与a的方向相反;当儿=0时，A：=0.,.，二⑵运算律：①九修尸协邑)a；字(九十n)a⑶坐标运算：设a=(x,y),则九a=?"x,y)=(Kx,九y).平面向量的数量积:1.向量的夹角:2.数量积：⑴abOA=^^B.=b,贝U/AOB=8（0险日《180）叫做向量a和b的夹角.cos3（a#0,b00胡MHM180）.『邛量与任一向量的数量积为0.

4、1a=（x1，y1）,b=（x2,y2）,贝Uab=x〔x2+y1y2.坐标运皆与两才非零向量即ab=七bcos日='一x1x2y1y23性质：设a、b都是非零向量，则.」当a与b反向时即9=i80°,a,b=」①当a与b同向时即。=0。，a窗=同耳；⑶aa=a2=ia2或a=-aa=ja2.alb=(a£b)2O2±2ab+b;]a4运算律：①ab=ba；②(Ka)b=X(ab)=a，(九b)；③(3+b)C=aC+bc.③数量积不适合乘法结合律如④.数量积的消去律不成立若三、平面向量基本定理：如果向量a,有且只有■卢智则x-xi,y-yi

5、=x2-x,y2-y=(1x2-x),'(y2-y)-Lx-Xi=)(X2-x)xix2x二y-y1二?；。2-y)y=1yiy21-xix2Ix二当.=i时，PiP2中点坐标公式.2y~^r5.特别注意：①向为的投影：向量.b在a方向上的投影是：

6、b

7、coS.②当日为锐角时，a，bA0且A与b不同向；当6为钝角时，ab<0且a与b不反向;当9=90的，ab=0(ab)c孝a(bc)((ab)c与c共线,而a(bc)与a共线).耳、b^c是非零向量且ac=bc,并不能得到a=b.e、e,是同■「平叫的两金不共线向量，那么对于这一平面内的任意

8、、,2,使a=+%e2.1.不共线的向量e、e2作为这一平面内所有向量的一组基底2、分点妙求位产点P是线段PiP2上的一点，R、P2的坐标分别是(2,%),(x2,y2),当RPnZTPz时，求点P的坐标的方法：设P的坐标为(x,y)四、向量的应用:(一)求长度①若a=(x,y),则

9、aa=•,x2y2②两点间的距离：若A(xi,yi),B(x2,y2.,AB=(x2—。丫2—yi),AB=J(x2—xi)2+(y2—yi)2(一)证垂直：向量垂直的条件：a_Lbuab=0uxix2+y1y2=0;a_Lbua+b=a-b(三)呼才行.(共肆

10、)的充要狰、彳①向量a(a#0当b共线吗a^b,存在唯一实数九，使b=?：ux1y2—x2y1=0②三点dEkf共线与阻BC吗：1xB4)(yca)-(xc=B)(gyA)"=一BC二九ABuOC/B'〒MOB—OA)年QC=—九OA+(1+7fB)uOC=4OA+yOB且x+y=1(四).求向量夹角：日是I与b的夹角，设a、b都是非零向量，?=(~必)，b=(x2,y2),4.则8$e=耦=jJ,+y?22.注意:8的范围：0C<0<180°bb.,x2yi；xfy2