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1、精品资源专题3平面向量与三角函数结合考点动向：向量与三角函数的交汇是当今高考命题的一个热点.自从新教材实施以来，在高考中，不时考查平面向量与三角有关知识的结合。这些题实际上是以向量为载体考查三角函数的知识，解题的关键是利用向量的数量积等知识将问题转化为三角函数的问题，转化时不要把向量与实数搞混淆，一般来说向量与三角函数结合的题目难度不大。向量与三角函数结合，题目新颖而精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查。这类题目常常包括向量与三角函数化简、求值与证明的交汇、向量与三角函数的图象与性质的交汇等几个方面.可以预测到，明年仍至今后的高考中，
2、还会继续出现向量与三角函数结合的题目。方法范例例1、(2005年，天津卷)在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(—3,4),若点C在/AOB勺平分线上且
3、OC
4、=2,则OC=。［分析］题设中已知向量的模，设OC=(2cos0,2sin0),结合角平分线和反三角形函数等知识求sin0,cose,进一步得到结果。［答案］解：设OC=(2cos&2sin日)，则日的终边在第2象限，即sin6＞。且cos日＜0,,由cos26=2cos2H-1,得413二4arctanarctan21232232.3二2cos1-1—cos］一2444-arctan-
5、=1-sinarctan-=1-一3.35故cos2B=—,sin20=—,得cos0=一一,sin日=-^=,10101010所以OC=(2cose,2sin日J-I笨U.加3加1l布布八55j例2、(2005年，山东卷)已知向量m=(cos^,sin日)和n=(V2_sinei,cos€l)日三俨,2n卜的值.7.I8,2一口m+n=,求cos.—十528［分析］本题是以向量的模为背景，利用模，结合三角函数恒等变换、化简求值等有关知识进行求解。［答案］解：•1m+n=(cos^—sin8+72,cos日+sin日cos二-sin■。2(cos?sin
6、^)2=.42、2(cos二-sin^)欢下载精品资源,4十4cos『mFcosFp二c2户二coslO+—=2cos(—+—)—1,4285二二二9二—:二一,一:二—.8288由已知m+n=述，得cosi+工〕=工，又54।2523二、16.八'「cos(—十—)=——,，日w(n，2n).2825代J)八^广日，冗,cos—+—f<0,..cos一十—2828J［冗例3(2006年•全国n)已知向量，a=(sin仇1),b=(1,cose),--7、向量数量积的运算，求日；(n)先求出向量a+b,再进行求a+b,后利用三角函数性质求最大值。L『五、［答案］解：(I)因为a_Lb,所以a•b=(sin6,1)•(1,cos9)=V2sin6i=0,<4J二二二二3二二因为一—<曰<一,所以——<8+—<一冗,8+—=0即8=—一,2244444或者，若a±b,则a,b=(sin6,1)•(1,cos8)=sin0+cos0=0,所以，tan0=—1(—-2-<0<-y),所以0=--4;(n)由a=(sin6,1),b=(1,cos日)，得a+b=(sin日,1+(1,cos日)=(sin日+1,1+
8、cos^),a+b=*'(sine+12+(1+cos8f=%；3+2(sine+cosQ)=13+2M2sin9+—"iV<4；当sin(6=1时，a+b取最大值，即当日=：时，a+b取最大值J2+1.［规律小结］(1)向量与三角函数结合，题目新颖而精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查，特别是向量的坐标表示及运算，这类问题的解决思路通常是将向量的数量积的运算与模用坐标运算后，转化为三角函数问题，然后用三角函数基本公式求解，基中涉及到的有关向量的知识有：①向量的坐标表示及加法、减法、数乘向量；②向量的数量积；③向量平行、垂直的充要条件
9、；④向量的模、夹角等。(2)平面向量垂直问题有多种证明方法，常用的方法有三种：一是根据数量积的定义证明，二是利用数量积的坐标运算来证明，三是利用向量运算的几何意义来证明。欢下载精品资源(3)三角函数恒等变形的基本策略:①常值代换法，特别是"1"的代换法，如1=cos20+sii20=tanx•cotx=tan45。②分拆配凑法，如项的分拆：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x;角的配凑:③升次降次法，如降次法：用二倍角公式降次。④化弦化切法：将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦(切)欢下载精品资源欢下载精品
10、资源⑤辅助元素法，引入辅助角：asin6+bcos0=4a2+b2sin(e十中
