直线与平面的夹角.docx

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1、组织教学师：上课：同学们好，请坐！课堂导入师：我们之前刚刚学习过直线和异面直线的夹角，谁来回答下老师的问题？师：当直线在平面内或者直线平行时，l与a的夹角为？学：0师：当直线和平面斜交时，l与a的夹角为（0,k）（由学生回答，教师板书）师：斜线和平面夹角的定义？学：直线和直线在平面内的射影的夹角师：为什么要把斜线和它在平面的射影定义为斜线与平面的夹角呢？我们先研斜面的斜线与该平面内任意直线夹角直线与它射影之间的关系，请看多媒体课件新课讲授师：已知：OB是OA在平面a内的射影，Ol?a,9是OA与。所成的角，g是OA与OB所成的角，％是OBt。晰成的角。则CO

2、S0,COSi,COS2三余弦之间的关系（课件）师：请同学们以小组为单位来研究学：COS9=COS91・COS92证明如下：在直线om上取单位向量m,则BA^m即BA.m=o,由0A*m=0B*mBA*m因此0A*m=0B*m一一OB即OACOSe=OBCOS%所以COSH="cose2（禾ij用投影仪展示）OA师：这位同学利用了向量法给予了证明，思路清晰，说明向量的功底很足，非常好，请回座。有没有同学用了其他方法呢？学：我们小组运用了几何方法过点B作直线BC垂直直线OMfC,连接AC.利用三垂线定理可知，直线AC垂直直线ocMcoss=堡储。声=°b,cos

3、2=°C所以cos=coSi・coS2OA0A0B（利用投影仪展示）师：这位同学解释的非常清楚准确，请回座。这样我们得到了这样一个公式COS9=COS013网（板书）师：8与81的大小关系是如何呢？学：因为COS0=COS01・。0阳2且0WCOS62M1所以COS日wCOS3由余弦函数单调性/M3师：这样我们得到了这样一个定理最小角定理：斜线和斜线在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角（板书）师：由于斜线和斜线在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角，所以用它来定义线面角，保证了线面叫的唯一性和合理性。师

4、：三余弦关系还有什么用途呢？请看学案。师：已知平面内的一条直线与平面的一条斜线的夹角为60。，这条直线与斜线在平面内的射影的夹角为45°,求斜线与平面所成角的大小。学：由三余弦关系COS60三COS45口*0080得出线面角为45°师：三余弦的关系只有在特殊情况下才能求出线面夹角，那么求线面夹角的一般方法有几种呢？师：第一种方法就是定义法步骤：第一步作垂线第二步找到或作出线面角第三步计算大家来看例题1,大家一起读题在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为菱形，侧面SBC1底面ABCD已知AB=SB=SC=2/ABC=60口求直线SA与平面ABCD所成角。师：第一

5、步我们应该怎么做？学：找线面角。师：图中有没有？学：没有。师：怎么办？学：作垂线师：怎么做？学：利用面面垂直。师：怎么利用面面垂直这个条件呢？学：利用面面垂直的性质定理，一平面内直线垂直交线则垂直于另一个平面。师：很好，下面同学们以小组为单位解决这个问题。师：刚才我在下面看到同学们都解答出来了，那么我们一起说。师（生）：取BC中点0,连接A0,S0由于SC=SB所以S0垂直BC,有面面垂直的性质定理可知，S0垂直平面ABCD则NSAO为线面角。在RtASAO中，S0=0A=J3所以线面角/SAO=—4师：我们来看这道思考题，不通过平移，你能找出直线B1C1和平

6、面ABC所成的角吗？学：不容易找到线面角。师：这说明定义法不是万能的，有一定的局限，那我们能不能用向量法解决呢？师：设平面口的法向量为n直线的方向向量为BA,直线与平面的夹角为9思考与8的关系？sinH=?,以小组为单位来解决这个问题。学：与8相差一（师播放动画）2师：那我们能想到什么？学：诱导公式师：sinH=?学：sinH=cos师：sin日=cosmqbA目（板书）这样我们通过建立坐标系，计算平面的法向量，通过公式计算出，线面角的正弦值，从而得到线面角。下面同学们利用这种方法解决思考题。师：同学们告诉老师，答案是多少？

7、当.333子：arcsin一3师：刚才有个同学跟老师说这个公式我不知道怎么用？这个公式给出了线面角三角函数值与平面的法向量和直线的方向向量三角函数的关系。我们从右侧出发，第一步先求平面的法向量和直线的方向向量的余弦值。第二步线面角的正弦值等于前面余弦的绝对值。第三步利用反三角求出线面角。师：我们一起看看具体的过程，建立坐标系，求出直线的方向向量和法向量，计算结果。这里可能由于法向量选取的不同导致平面的法向量和直线的方向向量的余弦值不同，但是绝对值一定相同。师：向量法求线面角的好处就是不需要找到或者作出线面角，通过公式就可以计算。师：这道题你能不能通过平移，用定

8、义法解决呢？留作思考。课堂小结师：这节