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1、函数的极值和最值【考纲要求】1.掌握函数极值的定义。2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件.3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值4.会求给定闭区间上函数的最值。【知识网络】【考点梳理】要点一、函数的极值函数的极值的定义一般地，设函数f(x)在点x=X0及其附近有定义，(1)若对于X0附近的所有点，都有f(x)f(xo),则f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值-f(x0).极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点
2、，极值点是自变量的值，极值指的是函数值^要点诠释：精品资料求函数极值的的基本步骤：①确定函数的定义域；②求导数f(x);③求方程f(x)=0的根；④检查f'(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)要点二、函数的最值1.函数的最大值与最小值定理若函数y=f(x)在闭区间［a,b］上连续，则f(x)在［a,b］上必有最大值和最小值；在开区间(a,b)内连1续的函数f(x)不一定有最大彳1与最小值.如f(x)=—(x>0).x要点诠释：①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得
3、。②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。2.通过导数求函数最值的的基本步骤：若函数y=f(x)在闭区间［a,b］有定义，在开区间(a,b)内有导数，则求函数y=f(x)在［a,b］上的最大值和最小值的步骤如下：(1)求函数f(x)在(a,b)内的导数f'(x);(2)求方程f'(x)=0在(a,b)内的根；(3)求在(a,b)内使f(x)=0的所有点的函数值和f(x)在闭区间端点处的函数值f(a),f(b);(4)比较上面所求的值，其中最大者为函数y=f(x)在闭区间［a,b］上的最大值，最小者为函数y=f(x)在闭区间［a,b］上的最小值.精品资料【典型例题】类型一：利用导
4、数解决函数的极值等问题例1.已知函数f(x)=mx3+3x2-3x,mwR若函数f(x)在x=—1处取得极值，试求m的值，并求f(x)在点M(1,f(1))处的切线方程；2【解析】f'(x)=3mx6x-3,mR.因为f(x)在x=-1处取得极值所以f'(_1)=3m—6-3=0所以m=3。又f(1)=3,f'(1)=12所以f(x)在点M(1,f(1))处的切线方程y—3=12(x—1)即12x-y-9=0.举一反三：【变式1】设a为实数，函数f(x)=ex—2x+2a,xwR.⑴求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当aAln2-1且xA0时，ex〉x2—2ax+1.【解
5、析】(1)由f(x)=ex-2x+2a,xwR知f'(x)=ex-2,xwR.令f'(x)=0,得x=In2.于是当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(fln2)ln2(ln2*)f(x)一0+f(x)单调递减2(1-ln2+a)单调递增故f(x)的单调递减区间是(Q,ln2),单调递增区间是(ln2,口)，f(x)在x=ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2(1-ln2+a).x2(2)证明：设g(x)=e-x+2ax—1,x"=R于是g'(x)=ex—2x+2a,x€R精品资料由(1)知当a>ln2—1时，g'(x)最小值为g
6、'(ln2)=2(1—ln2+a)>0.精品资料于是对任意xwR,都有g'(x)>0,所以g(x)在R内单调递增.于是当a>ln2-1时，对任意x(0(0,〜),都有g(x)>g(0).而g(0)=0,从而对任意x€(0,+^),g(x)>0.即ex-x2+2ax-1>0,故ex>x2-2ax+1.【变式2】函数f(x)的定义域为区间(a,b),导函数f'(x)在(a,b)内的图如图所示,则函数f(x)在(a,b)内的极小值有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】由极小值的定义，只有点B是函数f(x)的极小值点，故选Ao类型二：利用导数解决函数的最值问题【高清课堂：函数的
7、极值和最值394579典型例题三】例2.已知函数f(x)=(x2—mx+m)ex,其中mWR。(1)若函数f(x)存在零点，求实数m的取值范围；(2)当m<0时，求函数f(x)的单调区间；并确定此时f(x)是否存在最小值，如果存在，求出最小值，如果存在，请说明理由。【解析】(1)因为函数f(x)存在零点，则x2—mx+m=0有实根，△=m2-4m20,即m^04£m之4(2)当mc0时，函数定义域为Rx2xf(x)=(2x—m)e(x-mxm)e,2-、x二(x2x。mx)ex精品资料二x(
