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1、2013年全国初中数学竞赛试题3.如图，在Rt^ABC中，已知O是斜边AB的中点,若AD,DB,CD的长度都是有理数，则线段OD,考试时间2013年3月17日9:30-11:30满分150分CDXAB,垂足为D,DELOC,垂足为巳OE,DE,AC的长度中，不二走,是有理数的题号一二二总分1〜56〜1011121314得分评卷人复查人(A)OD(B)OE(C)DE(D)AC4.如图，已知△ABC的面积为24,点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC=4CF,DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为(A)3(B)4(C)65.对于任意实数x,yz,定义运算
2、“*”为:x(D)8/*3丫+3*2g+*丫3+45y=(x+1)3+(y+1)3—60'z,则20132012…32的值为（）1.用圆珠笔或钢笔作答;2.解答书写时不要超过装订线;3.草稿纸不上交.6.、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为A,B,C,D7.的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）8.9.1.设非零实数a,a+2b+3c=0miab+bc+ca钻/击4,、c,满足2a+3b+4c_0贝Ua2+b2+c2的值为()607（A）砺1821(B)967(D)16389
3、967、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）设a=13,b是a2的小数部分，则（b+2）3的值为如图，点D,E分别是△ABC的边AC,AB上的点，直线BD与CE交于点BFE,ABCF的面积分别为3,4,5,则四边形AEFD的面积是已知正整数a,b,c满足a+b2—2c—2=0,3a2-8b+c=0,贝Uabc的最大值为实数a,b,c,d满足:二次方程x2+cx+d=0的两根为a,b,根为c,d,则所有满足条件的数组（a,b,c,d）为F,已知△CDF,△二次方程x2+ax+b=0的两1(A)-2(B)01(C)2(D)110.小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支
4、售4元，圆珠笔每支售7元.开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有卖完，但是他的销售收入恰好是2.已知a,b,c是实常数，关于x的二次方程ax2+bx+c=0有两个非零实根xi,x2,则下列关1.次方程中，以十1,_*1方为两个实根的是（(A)c2x2+(b2—2ac)x+a2=0(B)c2x2—(b2—2ac)x+a2=0(C)c2x2+(b2-2ac)x—a2=0(D)c2x2—(b2-2ac)x—a2=0支圆珠笔.2013元,（第7题）第1页共3页三、解答题（共4题，每题20分，共80分）12.设△ABC的外心，垂心分别为O,H,若B,C,H,O共圆，对
5、于所有的△ABC,求/BAC所11.如图，抛物线y=ax，bx—3,顶点为E,该抛物线与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,且有可能的度数.OB=OC=3OA,直线y=-1x2+1与y轴交于点D,求/DBC-ZCBE.3第2页共3页b,c能13.设a,b,c是素数，记x=b+c—a,y=c+a—b,z=a+b—c,当z2=y,x[x-Vy=2时，a,14.如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”否构成三角形的三边长？证明你的结论.（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）.求正整数
6、n的最小值，使得存在互不相同的正整数a1,a2,…，an,满足对任意一个正整数m,在a1,a2,…，an中都至少有一个为m的魔术数.第3页共3页
