2013全国初中数学竞赛试题及答案

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1、2013全国初屮数学竞赛试题及答案中国教育学会中学数学教学专业委员会2013年全国初中数学竞赛试题答题时注意：1.用圆珠笔或钢笔作答；2.解答书写时不要超过装订线；3.草稿纸不上交.一、选择题(共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给11!了代号为A,B,C,D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分)1.对正整数n,记，贝9的末位数是().(A)0解：C(B)1(C)3(D)5,,,又知5!,6!,7!,8!,9!,10!的末位数均为0,而的末位数是3,所以，的末位数是3.2.已知

2、关于x的不等式组恰有5个整数解，则t的取值范围是().(A)

3、=OA-AD是有理数.由RtADOE^RtACOD,知10D2(第3题)(B)OE(D)AC2是冇OCDCDOOC都是有理数，而AC2.如图，己知AABC的面枳为24,点D在线段AC±，点F在线段BC的延长线上，且,DCFE是平行四边形，则图屮阴影部分的面积为()・(A)3(C)6解：C因为DCFE是平行四边形，所以DE//CF,且EF//DC.连接CE,因为DE//CF,即DE//BF,所以SADEB=SADEC,因此原来阴影部分的面积等于AACE的面积.(第4题)(B)4(第4题)(D)8连接AF,因为EF//CD,即EF//AC,所以SAAC

4、E=SAACF.因为,所以SAABC=4SAACF.故阴影部分的面积为6.1.在分别标有号码2,3,4,,,,10的9个球中，随机収出两个球，记下它们的标号，则较大标号被较小标号整除的概率是().(A)14(B)29(C)518(D)736解：B用二元数组(a,b)表示取出的两个球的标号，其中a表示较小的标号，b表示较大的标号,则满足条件的(a,b)有如下8种：(2,4),(2,6),(2,8),(2,10),(3,6),(3,9),(4,8),(5,10)■又所有取法数为,故所求概率为83629■二、填空题(共5小题，每小题7分，共35分)6.设

5、是a2的小数部分，则由于的值为.解：93,故2,因此.7.如图，点D,E分别是△ABC的边AC,AB±的点，直线BD与CE交于点F,已知ZCDF,ABFE,ABCF的面积分别是3,4,5,则四边形AEFD的面积是解：20413（第7题）如图，连接AF,则有：解得108139613所以，四边形AEFD的面积是20413.8.己知正整数a,b,c满足，为解：2013,则abc的最大值由已知，消去C,并整理得•由2a为正整数及，可得l

6、1」,从而可得综上知abc的最大值为2013.9.实数a,b,c,d满足：一元二次方程的两根为a,b,一元二次方程的两根为c,d,则所有满足条件的数组(a,b,c,d)为解：(1,,,,(t,0,,0)(t为任意实数)由韦达定理得.222由上式，可知若，则,进而b・若，则,有(a,b,c,,0,,0)(t为任意实数).经检验，数组(1，，,与(t,0,,0)(t为任意实数)满足条件.10.小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元.开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销4售收入恰好是2013元.则他

7、至少卖出了支圆珠笔.解：207设x,y分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则013,所以于是是整数.又9所以，

8、故y的最小值为207,此时三、解答题(共4题，每题20分，共80分)11.如图，抛物线E,该抛物线与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,且OB=OC=3OA.直线ZCBE.解：将分别代入13213与y轴交于点D.求Z(第11题)知，D(0,1),C(0,,所以B(3,0),,0).直线将点C(0,的坐标代入，得•13过点B.5分抛物线的顶点为E(l,.于是由勾股定理得BC=CE因为BC2+CE2=BE2,所以，ZBCE为直角三角形,,

9、,,,,,,,10分因此CECB=.又tanZDBO=31ODOB13,则ZDBO=所以，512.如图，己知AB为圆O的直