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1、三角形的外接圆与内切圆半径的求法江苏省海安县曲塘镇花庄初中（226661）马金全、求三角形的外接圆的半径1、直角三角形如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边C例1已知：在厶ABC中，AB=13，BC=12,AC=5求厶ABC的外接圆的半径.解：•••AB=13,BC=12,AC=5,AB=bC+aC,•••/C=90°,.AB%AABC的外接圆的直径，•△ABC的外接圆的半径为6.5.2、一般三角形①已知一角和它的对边B例2如图，在△ABC中，AB=10,/C=100°,求厶ABC外接圆
2、OO的半径.（用三角函数表示）分析：利用直径构造含已知边AB的直角三角形.解：作直径BD连结AD.则/D=180°-/C=80°,/BAD=90°BD=^=旦sinDsin80•△ABC外接圆OO的半径为一5—sin80注：已知两边和其中一边的对角，角形的外接圆的半径•例3如图，已知，在△ABC中，求厶ABC外接圆OO的半径.分析：可转化为①的情形解题•解：作直径AD连结BD.则/D=/C=180°—/CAB-/以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三AB=10,/A=70°,/B=50°BAC=60°,/
3、DBA=90°AD.垂足为E.•••AD=_AL=1°=20.3sinDsin603•△ABC外接圆OO的半径为10.33①已知两边夹一角例4如图，已知，在厶ABC中，AC=2,BC=3,/C=60°求厶ABC外接圆OO的半径.分析：考虑求出AB,然后转化为①的情形解题.解：作直径AD连结BD.作AE±BC垂足为E.则/DBA=90°,/D=/C=60°,CE=丄AC=1,AE=.3,2BE=BC—CE=2,AB=..AE2BE2=,7AD=AB=—=2.21sinDsin603•△ABC外接圆OO的半径为121
4、.3③已知三边例5如图，已知，在△ABC中，AC=13,BC=14,AB=15求厶ABC外接圆OO的半径.分析：作出直径AD构造Rt△ABD.只要求出厶ABC中BC边上的高AE利用相似三角形就可以求出直径解：作直径AD连结BD.作AE±BC.ACAEADAB设CE=x,•/aC-ce2=aE"=aB"-be22222•13-x=15-(14-x)x=5.即CE=5•AE=12旦12AD=色AD154•△ABC外接圆OO的半径为色.8则/DBA=/CEA=90°,/D=/C、求三角形的内切圆的半径1、直角三角形Ab
5、EC例6已知：在厶ABC中，/C=90°,AC=b,BC=a,AB=c求厶ABC外接圆OO的半径.解：可证四边形ODCE为正方形•设OO的半径为r,则CD=CE=r,BD=a-「,AE=b-「,••(a-r)+(b-r)=c,...r=abc,即厶ABC外接圆OO的半径为abc•222、一般三角形①已知三边B例7已知：如图，在△ABC中，AC=13,BC=14,AB=15求厶ABC内切圆OO的半径r.分析：考虑先求出△ABC的面积，再利用“面积桥”，从而求出内切圆的半径.解：禾U用例5的方法，或利用海伦公式S*s
6、(sa)(sb)(sc)(其中s=a:c)111可求出S^ABC=3?r+丄BC?r+丄AC?r=84,•r=4222②已知两边夹一角例8已知：如图，在△ABC中，cotB=4,AB=5,BC=63求厶ABC内切圆OO的半径r.分析：考虑先通过解三角形，求出△ABC的面积及AC的长,再利用“面积桥”，从而求出内切圆的半径.解：作△ABC的高AD.解直角三角形可得AD=3,CD=2,AC=,13,因为丄AB?r+-BC?r+-AC?r=-BC?AD,可求得r=111322226C①已知两角夹一边例9已知：如图，在△
7、ABC中，/B=60°,/C=45°,BC=6求厶ABC内切圆OO的半径r.(精确到0.1)分析：思路方法同上，读者可完成.总之，只要通过边、角能确定三角形，就可以借鉴上面的方法求出这个三角形的外接圆和内切圆的半径
