任意三角形外接圆半径、内切圆半径的求法及通用公式

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1、....一、任意三角形外接圆半径设三角形各边边长分别为a,b,c外接圆半径为R，（如右图所示）222cRb则cos()abccoscossinsin2ab（余弦定理）bb2αbR2β24而cos，sinaR2RRaaR2a224cos，sinRR2Ra2b2c2R2b2R2a2即有：ba442ab2R2RRR即有：a2b2c2ab(4R2b2)(4R2a2)ab2R2所以：ab2R2(a2b2c2)(4R2b2)(4R2a2)ab即有：(ab)24R2(a2b2c2)4R4(a2b2c2)216R44(a2b2)R2a2b2ab所以：c2R2[4(a2b2c

2、2)2]，即：a2b2c2R2[4a2b2(a2b2c2)2]ab~~....所以：Rabc(abc)(abc)(acb)(bca)而三角形面积：4S(abc)(abc)(acb)(bca)（海伦公式）所以，有：Rabc4S※另一求法，可用正弦定理，即：ab2c2a2sinA2R，而cosA2bc所以：Raaaabc2sinA222222222221(cosA)21(bca)24bc(bca)2bc~~....二、任意三角形内切圆的半径y设三角形各边边长分别为a,b,cy内切圆半径为r，（如右图所示）cRb因为内切圆的圆心为各角的角平分线的交点，z所以，会有

3、rxxzaαabcαxyb，解得xzax2yzc显然：rxtan，而tansin21(cos2)21cos21cos2而由余弦定理有：cos2a2b2c22aba2b2c22所以：tan1(2ab)4(ab)2(a2b2c2)21a2b2c2(abc)(abc)2ab即有:rabc4(ab)2(a2b2c2)24(ab)2(a2b2c2)22(abc)(abc)2(abc)即：r(abc)(abc)(acb)(bca)4S2S2(abc)2(abc)abc~~