3任意三角形外接圆半径内切圆半径的求法及通用公式.pdf

3任意三角形外接圆半径内切圆半径的求法及通用公式.pdf

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1、一、任意三角形外接圆半径设三角形各边边长分别为a,b,c外接圆半径为R,(如右图所示)222abc则cos()coscossinsin2abcRb(余弦定理)2b2bRα2b4β而cos,sinR2RRa2a2aR2a4cos,sinR2RR222b2a222RRabcba44即有:2ab2R2RRR2222222abcab(4Rb)(4Ra)即有:2ab2R2222abc2222所以:ab2R()(4Rb)(4Ra)ab2

2、22222224abc2422222即有:(ab)4R(abc)4R()16R4(ab)Rabab22222abc22222222222所以:cR[4()],即:abcR[4ab(abc)]ababc所以:R(abc)(abc)(acb)(bca)而三角形面积:4S(abc)(abc)(acb)(bca)(海伦公式)abc所以,有:R4S222abca※另一求法,可用正弦定理,即:2R,而cosAsinA2bc所以:aaaabcR

3、2sinA21(cosA)2b2c2a24b2c2(b2c2a2)2221()2bc二、任意三角形内切圆的半径设三角形各边边长分别为a,b,cyy内切圆半径为r,(如右图所示)因为内切圆的圆心为各角的角平分线的交点,cRb所以,会有zxxzaabcrαxyb,解得xα2yzczax2sin21(cos2)显然:rxtan,而tan1cos21cos2222abc而由余弦定理有:cos22ab222abc21()222222a

4、b4(ab)(abc)所以:tan222abc(abc)(abc)12ab2222222222abc4(ab)(abc)4(ab)(abc)即有:r2(abc)(abc)2(abc)(abc)(abc)(acb)(bca)4S2S即:r2(abc)2(abc)abc

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