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1、精品文档《偏微分方程数值解法》课程设计题目：六点对称差分格式解热传导方程的初边值问题姓名：王晓霜学院：理学院专业：信息与计算科学班级：0911012学号：091101218指导老师：翟方曼2012年12月14日8。迎下载精品文档一、题目用六点对称差分格式计算如下热传导方程的初边值问题2―2-4,0x1,0t1tx2u(x,0)eXjjh,j0,1,,N;yYkk,k0,1,,M,0x1u(0,t)e2t,u(1,t)e1^,0t1已知其精确解为u(x,t)ex2t二、理论1.考虑的问题考虑一维模型热传导方程2(1.1)f(x),0tTx其中a为常数。f(x)是给定的连续函数
2、。(1.1)的定解问题分两类:第一，初值问题(Cauchy问题)：求足够光滑的函数ux,t，满足方程(1.1)和初始条件：(1.2)ux,0x,x第二，初边值问题(也称混合问题)：求足够光滑的函数ux,t,满足方程(1.1)和初始条件：1.31ux,0x,lxl及边值条件1.32u0,tul,t0,0tT假定fx和x在相应的区域光滑，并且于0,0,l,0两点满足相容条件，则上述问题有唯一的充分光滑的解。现在考虑边值问题(1.1),(1.3)的差分逼近取h丄为空间步长，工为时间步长，其中N,M是自然数，NM8。迎下载精品文档将矩形域G0x1;0tT分割成矩形网格。其中x「yj
3、表示网格节点;Gh表示网格内点(位于开矩形G中的网格节点)的集合;Gh表示位于闭矩形G中的网格节点的集合；h表示Gh-Gh网格边界点的集合。uk表示定义在网点Xi,tk处的待求近似解，0jN，0kM。k注意到在节点Xi,tk处的微商和差商之间的下列关系(——(Xj,tk)):tjtuXj,tk1uXj,tkUXj,tkiUXj,tki2uXji,tkuXj,tkhuXj,tkuXji,tkhOh2uXj「tkuXji,tk2h1,tkOh2uXji,tk2uXj,tkuXj8。迎下载精品文档3•建立相应差分格式数值分析中，Crank-Nicolson方法是有限差分方法中的一
4、种，用于数值求解热方程以及形式类似的偏微分方程。它在时间方向上是隐式的二阶方法，数值稳定。该方法诞生于20世纪，由JohnCrank与PhyllisNicolson发展。①向前差分格式1.411.421.51k1UjkUj0Ujjk1kUjUja②向后差分格式Xjk1Uj1a一0UjjkUj1kk2UjUj1kkUg=Un=0k1k12UjUj1■pfXj1.52Xj，kkUg=UN=0将向前差分格式和向后差分格式做算术平均，得到的差分格式称之为六点对称格式，也称为Grank-Nicholson格式:1.6ik1UjkUjkaUji2u：kUjik1：1k1Uj12UjUj
5、1fjfjfXj2h2h21.620UjjX，kU0=uN=0进-.rH步，1.63r2k1/Uj1+1krUj1匸2k1Uji=-u：；+1ru：2~u：i+fj按层计算：首先，取k0,贝闲用初值u：j为和边值Uo=uN=0，来确定出第一层的u；，j0,1,,N1，即求解方程组：r11r1roroU
6、1+1rU
7、U
8、1=U
9、1+1rUjU,1+f,j0,1,,N1，u：=uN=0o求出u］，在由1.81,取k1，可利用u1，解出Uj2，j0,1,,N1。如此下去，即可逐层算出所有u：，k0,1,,M1o8。迎下载精品文档若记8。迎下载精品文档8。迎下载精品文档LuL；kU
10、j1UjkUjkUj12u：VkUjk1k1Uj12Ujh^k1Uj1三、截断误差RkuLh3Uxj,tkLUk=O注意:UXj,tk1UXj,tk2u~2X2u-2X两式相加124U2.2Xt4U2.2Xt1~22u~2XXj1,tk2uXj,tk1uh22h2故有UXj,tk1UXj,tkXjUXj1,tk12uXj,tk1uXj2h201,tk1Uxj,tk2uXjh2,tkUXj1,tk2u2X1,tk1Uxj12+fj1,tk2uXj,tkuXj1,tk8。迎下载精品文档8。迎下载精品文档四、稳定性与收敛性抛物方程的两层差分格式可以统一写成向量形式（1.7）AUk
11、1BUkF其中Uk（Uik,LuNi）T,F（fi,L,fNi），A和B是N1阶矩阵。我们假定A可逆，即（1.7）是唯一可解的。对于显格式，A等于单位矩阵I。三层格式可以通过引入新变量wkUkUk1化成两层格式假设差分解的初始值（其实可以是任一层的值）有误差，以后各层计算没有误差，让我们来考察初始误差对以后各层的影响。令Uk和vk分别是以U0和V0为初始值由差分格式（1.7）得到的两组差分解，则WkUkVk满足（1.8）AWk1BWk因此，按初值稳定应该意味着
12、wkk
13、
14、w0。这就导致如下定义：假设F0,我们称差分
