偏微分方程数值解法答案.doc

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1、.1.课本有证明2.课本有说明3.课本有说明4.Rit2法，设是u的n维子空间，是的一组基底，中的任一元素可表为，则是的二次函数，，令，从而得到满足，通过解线性方程组，求的，代入，从而得到近似解的过程称为Rit2法简而言之，Rit2法：为得到偏微分方程的有穷维解，构造了一个近似解，，利用确定，求得近似解的过程Galerkin法：为求得形式的近似解，在系数使关于，满足，对任意或（取）的情况下确定，从而得到近似解的过程称Galerkin法为Rit2-Galerkin法方程：5.有限元法：将偏微分方程转化为变分形式，选定单元的形状，对求解域作剖分，进而构造基函数或单元形状函数，形成

2、有限元空间，将偏微分方程转化成了有限元方程，利用有效的有限元方程的解法，给出偏微分方程近似解的过程称为有限元法。6.解：对求解区间进行网格剖分，节点得到相邻节点....之间的小区间，，由节点上的一组值，按线性插值公式确定试探空间，令把变到轴上的参考但愿[0,1]令则：，将带入该函数得到：带入可得令其中从而得到的线性方程组！7.矩形剖分假定区域C1可以分割成为有限个互不重叠的矩形的和，且每个小矩形的边和坐标轴平行，任意两个矩形或者不相交或者有公共的边和公....共的顶点，成如此的分割为矩形剖分基函数的取法其中是以为顶点的矩形单元为的底和商的长度。8.何为三角剖分，基函数怎样取？

3、三角剖分：设G是多边形域（否则可用多边形域逼近它），将G分割成有限个三角形之和，使不同三角形无重叠的内部，且任一三角形的顶点不属于其他三角形的内部，这样就把G分割成三角形网，称为G的三角剖分。基函数的取法：通过构造Lagrange型插值公式可以得到基函数的取法。不妨以是一次多项式为例，得到，其中L1是相应于节点1的基函数在△上的限制（具体的过程，可参考课本：P57P58）9.题，参考课后习题P92的第一题，具体过程可参考积分插值的推导过程10，11题不会。在此将14题推导过程介绍如下：12.对Possion方程，建立五点差分格式，并估计截断误差。取定沿x轴和y轴方向的步长h1

4、和h2，沿x,y方向分别用二阶中心差商代替，则（五点差分格式）式中表示节点(i,j)上的网函数。令利用Taylor展式有截断误差为....13.对possion方程建立，极坐标形式的差分格式poission方程的极坐标形式为-----①其中利用中心差商公式-----②-----③将②③两式代入①式得即poission方程极坐标形式的差分方程。14.解：将按照Taylor在处展开整理得到其截断误差为在Richardson格式（4.1.10）中以代入，便得DuFortFrankel格式：-----①-----②①-②得（省去了的商阶无穷小）从而得到了微分方程左边的误差同理可得微分

5、方程右边的误差：....从而得到15.用Fourier方法讨论向前差分格式的稳定性。解：向前差分格式。以代入得消去则知增长因子由于在[0，π]中分布稠密，(随)为使满足vonNeu-Mann条件，必须且只须网比所以向前差分格式的稳定性条件是16.用Fourier方法讨论向后差分格式的稳定性。解：对向后差分方程利用Fourier方法分析器稳定性，整理得：。令，将代入得到：消去。则增长因子为。所以向后差分方程是恒稳定的。17.用Fourier方法讨论六点对称格式的稳定性。解：六点对称方程的格式为。令代入得=。消去得增长因子为....。所以六点对称格式是无条件恒定的。18.证明：利

6、用Fourier方程将两端同时做变换。得)消去exp(ixjh)得增长因子为.即差分格式的充要条件是19.讨论三维热传导方程向前差分格式的稳定性解：三位热传导方程为（向前差分格式）.取通项代到上式消去公因子得。从而增长因子为为使

7、

8、=1+O()必须且只须。当时三维热传导方程的向前差分格式稳定。20.讨论三维热传导方程向前后分格式的稳定性解：三维热传导方程的向后差分格式为：取通项=exp(i(++)),=,=,=,带入上式，消去共因子得：。恒成立....所以三维传导方程向后差分格式是无条件稳定的。21．三维传导方程的PR格式为：=（1）=(2)=(3)(1)(2)(3)合称PR

9、格式。22.将===将=exp带入上式得=对任何r>01.所以=绝对收敛。23．解：(1)(2)(3)(4)(1)+(2)得=+....（3）+（4）得=+所以其截断误差为。24.证明：用Fourier法证明：作变化=。得0时=消去得：=所以G=丨丨丨丨=1所以当a0时,+=0绝对稳定。当a<0时，=消去得：=丨丨1.=1所以当a<0时+=0绝对稳定.......