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《偏微分方程数值解法引论.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、主要内容（一）引论、准备知识有限差分方法基本概念双曲型方程的差分方法抛物型方程有限差分方法椭圆型方程的差分方法有限差分方法数学物理方程的变分原理有限元离散方法有限元方法的误差估计（了解）有限元方法主要内容（二）Ch1引论准备知识（一）典型方程常微分方程（ODE)偏微分方程(PDE)联系着自变量,未知函数及其导数(微分)的方程,称为微分方程.:未知函数是一元函数分类偏微分方程partialdifferentialequation:未知函数是多元函数已知函数称为u的梯度算子梯度,散度和Laplace算子称为Laplace算子=▽·▽u称为u的散度算子4.扩散、传热方程5.对流
2、扩散方程(n=2)6.对流方程(n=1)7.重调和方程（二）定解问题第一边值问题（Dirichlet）第二边值问题（Neumann）第三边值问题（Robin）考虑两个自变量的二阶偏微分方程线性:是x,y的二元函数;拟线性:的函数;是对于二阶线性偏微分方程常系数线性PDE:否则称为变系数的．齐次线性PDE:否则称为非齐次的．都是常数．则按特征方程分类作变换逆变换为考虑二阶线性方程（1）将代入方程（1）整理得其中（2）令为方程的两个特解，则有则方程（2）可简化为其中由令常数，表示是的函数。则有得（3）方程（4）称为方程（1）的特征方程，方程（4）的解从而有（4）称为方程（1）
3、的特征曲线。如果将常数则特征方程为参数表示为可化为即见6页对于二阶线性偏微分方程则特征方程为由特征方程得当称方程（1）为双曲型称方程（1）为抛物型称方程（1）为椭圆型椭圆型PDE:抛物型PDE:双曲型PDE:课堂练习1)是否为线性PDE2)若是,为哪种类型的PDE(椭圆,抛物,双曲)?是椭圆型PDE抛物型PDE双曲型PDE有关n个自变量的二阶拟线性偏微分方程关于一阶方程组（1）设（1）考虑二维一阶方程组其中方程组（1）为拟线性将如果方程组（1）为线性表示为记为其中（2）方程组（2）为拟线性方程组（2）为线性对于方程组（2）记则方程组（2）可表示为（2）多维一阶方程组方程组
4、（3）见8页可表示为（4）其中同理其中没有实特征向量，方程组（3）称为椭圆型；有p个线性无关的实特征向量，方程组（3）称为双曲型；有p个相异实特征值，方程组（3）称为严格双曲型；见8页如果见9页满足关系（任意常数）表示是的函数。则有代入方程得其中为矩阵的特征值；方程为方程组（4）的特征方程；为方程组（4）解的特征曲线；如果将见9页为参数表示为则特征方程化为设例一维对流方程为一维对流方程为严格双曲型特征方程为特征曲线为（任意常数）方程沿特征曲线的解则沿特征曲线对于定解问题得方程的解为见10页Ch2有限差分方法基本概念1、有限差分格式（网格剖分，建立格式）2、相容性、收敛性、
5、稳定性3、研究稳定性的Fourier方法4、研究稳定性的其他方法见13页1、网格剖分求解区域：网格线时间步长空间步长网格点、节点（1）双曲型方程、抛物型方程初值问题见13页（2）双曲型方程、抛物型方程初边值问题求解区域：网格线时间步长空间步长网格点、节点见14页（3）椭圆方程边值问题网格线求解区域：xoy面上的有界区域D，为区域D的边界，满足分段光滑；如果两节点网格点（节点）满足或内点边界点称节点相邻见14页相邻节点均属于的点称为内点；至少有一个相邻节点不属于的点称为边界点；建立差分格式的方法：Taylor级数展开方法2.积分方法（有限体积法）2.Taylor级数展开方法
6、建立差分格式二元函数的Taylor展开式二阶中心差商对流方程的初值问题=0扩散方程的初值问题=0扩散方程可用如下的差分格式来计算：改为便于计算的格式3.积分方法（有限体积法）由数值积分的中矩形公式，得4.隐式差分格式见18页整理得有限差分格式在新时间层上包含多于一个节点，称为隐式格式。见19页如果扩散方程初边值问题为：其差分格式为则有虽然隐格式需要求解线性代数方程组，但涉及到数值稳定性，可采用大步长以减少计算量。a=1/2;t=0.2;N=10;h=pi/N;c=t/h^2A=[1+2*a*c,-a*c,0,0,0,0,0,0,0;-a*c,1+2*a*c,-a*c,0,
7、0,0,0,0,0;0,-a*c,1+2*a*c,-a*c,0,0,0,0,0;0,0,-a*c,1+2*a*c,-a*c,0,0,0,0;0,0,0,-a*c,1+2*a*c,-a*c,0,0,0;0,0,0,0,-a*c,1+2*a*c,-a*c,0,0;0,0,0,0,0,-a*c,1+2*a*c,-a*c,0;0,0,0,0,0,0,-a*c,1+2*a*c,-a*c;0,0,0,0,0,0,0,-a*c,1+2*a*c];x=0:h:pi;t=0:0.2:1.8;x1=h:h:pi-h;u0=sin(x1)';y=z
