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1、、重要结论及证明过程在椭圆点，弦MN证明:“点差法”巧解椭圆中点弦题型2爲1(a>b>0)中，若直线I与椭圆相交于b2所在的直线l的斜率为kMN，则kMNyoXob2~2-a设M、N两点的坐标分别为(x-yj、(X2,y2)，则有(1)(2)，得22X1X22a22y1y20.y2y1y2y12X1-2~a2X2~2a两点,2y12y2X2X1X2X1b2~2-a又kMNy2y1y1y2X2X1X1X22y2xb2-2.a同理可证，在椭圆(a>b>0)中，若直线是弦MN的中点,弦MN所在的直线I的斜率为kMN，则
2、kMN二、典型例题1、设椭圆方程为OP](OAOB),2点P(x0,yo)是弦l与椭圆相交于YoXoMN的中1,1.(1)N两点，点P(X0,y0)2y1，过点M(0,1)的直线I交椭圆于点4点N的坐标为B,O为坐标原点，点P满足-.当I绕点M旋转时，求:2(1)动点P的轨迹方程;(2)
3、NP
4、的最大值和最小值22、在直角坐标系xOy中，经过点"2)且斜率为k的直线1与椭圆冷y21有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值范围;(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B,是否存在常数k，使得向量0P0Q
5、与AB共线？如果存在，求k的取值范围；如果不存在，请说明理由22Xy.3、已知椭圆—21(a>b>0)的左、右焦点分别为abFi、F2，离心率e，右准线方程为x2.(I)求椭圆的标准方程;(n)过点Fi的直线1与该椭圆相交于M、N两点，且
6、F?MF2N
7、226求直线I的方程.32xv2321(a>b>0)的离心率为，过右焦点F的直线I与C相交于A、Bb23两点•当I的斜率为1时，坐标原点0到I的距离为手.(1)求a,b的值;(2)C上是否存在点P,使得当I绕F转到某一位置时，有OPoAOB成立？若存在，求出所有点
8、I:ymx1(m0)对称，求k的值.2xI:ymx1(m0)对称，求k的值.2xP的坐标与I的方程；若不存在，说明理由25.椭圆C的中心在原点，并以双曲线—41的焦点为焦点,以抛物线x26.6y的准线为其中I:ymx1(m0)对称，求k的值.2xI:ymx1(m0)对称，求k的值.2x一条准线.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线I:ykx2(k0)与椭圆C相交于A、B两点，使A、B两点关于直线I:ymx1(m0)对称，求k的值.“点差法”巧解双曲线中点弦题型、重要结论及证明过程2x在双曲线二a>0，b>0)中，若
9、直线I与双曲线相交于M、N两点，点P(x°,y°)是弦MN的中点,y0MN所在的直线I的斜率为kMN，则kMN-X。b2~2•a证明过程和椭圆证法相同(略)2同理可证，在双曲线爲a1(a>0,b>0)中，若直线I与双曲线相交于M、N两点，点P(xo,yo)是弦MN的中点，弦MN所在的直线I的斜率为kMN，则kMNyoXo二、典型例题1.已知双曲线1,过点P(丄，3作直线I交双曲线于A、B22两点•(1)求弦AB的中点M的轨迹；(2)若点P恰好是弦AB的中点，求直线的方程和弦AB的长.22•设A、B是双曲线x2y1
10、上两点，点N(1,2)是线段AB的中点•2(1)求直线AB的方程；(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆，为什么？223、双曲线C的中心在原点，并以椭圆x—1的焦点为焦点，以抛物线y223x的准线为右2513准线•(1)求双曲线C的方程；(2)设直线l:ykx3(k0)与双曲线C相交于A、B两点，使A、B两点关于直线l:ymx6(m0)对称，求k的值.“点差法”巧解抛物线中点弦题型三、重要结论及证明过程(略)2在抛物线y2mx(m0)中，若直线I与抛物线相交于M、N
11、两点，点P(xo,y°)是弦MN的中点，弦MN所在的直线I的斜率为kMN，则kMNy0m.同理可证，在抛物线x22my(m0)中，若直线I与抛物线相交于M、N两点，点P(x0,y0)是弦MN的中点，弦MN所在的直线1I的斜率为kMN，贝yX。m•kMN注意：能用这个公式的条件：(1)直线与抛物线有两个不同的交点；(2)直线的斜率存在，且不等于零.、典型例题21、设A(x1,y1),B(x2,y2)两点在抛物线y2x上,l是AB的垂直平分线.(I)当且仅当XiX2取何值时，直线I经过抛物线的焦点F?证明你的结论.(
12、□)当Xi1,X23时，求直线I的方程.(理)当直线I的斜率为2时，求I在y轴上的截距的取值范围.2.已知抛物线C:y22x，直线ykx2交C于A、B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N.(I)证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行;(n)是否存在实数k使NANB0,若存在，求k的值；若不存在，请说明理由
