第十单元无穷级数0001.docx

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1、第十单元无穷级数一、无穷级数的概念与性质1、无穷级数：aUn二UiU2咔"Un上，简称级数。其中Un称为通n4项，也叫一般项。nSn=為Ui为级数的前n项的部分和。i4收敛：limSn存在，且称limSn为级数的和。n・n）二发散：limSn不存在。数项级数：J：Un中的每项Un均为常数。n生函数项级数：、：=Un中的项Un不全为常数n42、基本性质性质1、若^Un收敛于S,则JkUn收敛于kS；n£n吕若二Un发散，"0,则二kUn也发散nTnT性质2、若^Un与二论皆收敛，则二（Un、）也收敛nz!n二nz!qQ丿性质3、在'Un前面部分去掉或添上有限项，不改变级数的收

2、敛性n经性质4、收敛级数加括号后所得的级数仍收敛于原级数的和性质5、（收敛的必要条件）若二Unnm收敛，则必有nimUnqQ说明：lim_Un=0并不能保证vUn—定收敛n^pCn#推论：limun=0，n_^c则7Un必定发散n=1三个标准级数:(1)等比级数:□anarn=0[■收敛:发散小1r

3、1和为-1-r(2)p—级数:1'、-_(■收敛i发散p1P-1(3)调和级数:发散n=0n例1若级数"Un收敛,记SnA.limSn=0B.limSn存在n・nC.limSn可能不存在n:D.、Sn』为单调数列例2若级数-Un收敛，则下列级数不收敛的是(QOA.'2UnB.'

4、(Un2)C.2VUnQOD，2UnqQ例3判定-n吕(2n-1)(2n1)的收敛性。解：因Un(2n-1)(2n1)22n-12n1Sn]im：Sn1111111.[(1-―)()()上()2335572n-12n1111=lim—(1厂n厂22n122n12n1所以,oOzn#(2n-1)(2n1)收敛'且收敛于2。、、正项级数oOQO1、定义：若vun中的每一项Un>0,(n=1,2,…)则称un为正项级数。nWnHQOQ0UnnJ(1)当&Vn收敛时,n4二Un必收敛;n4(大敛小必敛)(2)当7Un发散时，n47Vn必发散;n4(小散大必散)2、比较判别法(审敛法

5、)若JUn与-皆为正项级数，且OWUn1时,oO'Unn£发散;(3)p=1时,此法失效。说明:(1)Un中含n!时，用比值法较为方便;(2)利用比较法时，要先有个初步估计，然后选择一个标准级数与之比较。4、极限形式的比较判别法设Un与「n皆为正项级数，且业二k(0)，则&Un与打Vn的n吕n妊""VnnTnT收敛性相同。qQqQ例1设二Un与JVn都是非功过正项级数，且Un

6、A.若7Un收敛，则7Vn收敛B.若7Un发散，则Vn收敛n』n』nMn』C.若■'vn发散,则「un发散ngn4D.qQqQ若vvn收敛，则7un收敛nJnJoOa例2判定级数-J—心(1+$nn的收敛性。解：因limunn^C=lim—1一n所以级数°°11发散心(1•丄)nn(推论)例3判定二竽的收敛性。3(n1)-1Un1Un解：因lim=lim3lim5山y3n—1+3(3n_1)3(n1)讥冷:：13n所以"32二收敛。n43n例4判定级数i二一nman!(a>O,a工e)的收敛性。(n1)n1解：lim也二lima(n1)!n护unnYUn1nnnan!(n1

7、)nann-lim丄(1丄)n—'an故当a>e时，收敛;0

8、;(3)使用比较判别法，先作一个初步估计，再选择标准级数。n亍的收敛性。解:（lim也=1，比值法失效）法一：利用极限形式的比较判别法，取°°1-为发散级数n弓nn—*Vn=lim2=10r：2n（同敛散）n#2nn2发散。法二：比较判别法，由于2严2=Vn2nnn1n03(调和级数)O0OOA00A又'Vn-1发散n^1n=11nn^n0303故二n42■nn2发散。0303三、任意项级数1、定义：如果工Un中的各项Un可以是正数、负数或零，则称n4为任意项级数。(除特殊情形外，没有判别收敛的一般法则)2、交错