导数与微分单元复习.docx

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1、百度文库3百度文库第二章导数与微分学习目标：1.了解导数、微分的几何意义、经济意义；函数可导、可微、连续之间的关系；高阶导数的概念2•理解导数和微分的概念3•掌握导数、微分的运算法则；导数的基本公式；复合函数的求导法则导数的概念•1问题的引入(以物理学中的速度问题为例，弓I入导数的定义)1.变速直线运动的瞬时速度设一物体作变速直线运动，其路程函数为s=s(t),求该物体在to时刻的瞬时速度•设在to时刻物体的位置为s(to).当经过to+At时刻获得增量At时，物体的位置函数S相应地有增量ss(toStotStot就是物体在to到to+At这段时间内的平均速

2、度，记作V,StotStot当

3、At接近物体在很小时,V可作为物体在to时刻的瞬时速度的近似值.且At越小，v就越t0时刻的瞬时速度，即3百度文库lim」lim空」仏tottot设某产品的总成本C是产量Q的函数，即C=C(Q)，当产量Q从Qo变到QoQ时，总成本相应地改变量为Cf(QoQ)f(Qo)C当产量从Q。变到QoQ时，总成本的平均变化率—Qf(QoQ)f(Qo)Co时，如果极限limCQ°Qf(QoQ)Qf(Qo)存在，则称此极限是产量为Qo时总成本的变化率。v(to)limvto就是说，物体运动的瞬时速度是路程函数的增量和时间的增量之比当时间增量趋

4、于零时的极限•产品总成本的变化率2.1.2导数的定义3百度文库1.函数yf(x)在一点x0处导数定义设函数yf(x)在N(x。，)内有定义，①当自变量x在x0处取得增量x(点x0x仍在该邻域内)时；②相应地函数y取得增量yf(x0x)f(x0)；③如果y与x之比当x0时的极限存在，则称函数yf(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数yf(x)在点x0处的导数，记为f(x0)，即fglim」limf(x0x)f(xo).x0xx0x也可记为y,史或蚁.XX。dxxx0dxxx0也称函数增量与自变量增量之比」是函数y在以X。及X。x为端点的区间上的平x均变化率

5、，导数f(x°)是函数yf(x)在点x°处的变化率，即瞬时变化率.如果极限不存在，我们说函数yf(x)在点x0处不可导.如果固定x0，令x0xx，则当x0时，有xx0，故函数在x0处的导数f(X0)也可表为f(x)f(Xo)f(x0)lim—xX0Xx0［例题1］求函数yX3在x1，x2处的导数•解当X由1变到x1时，相应的函数增量为3x3x2x3yf(xx)f(x)于是△3X3x(X)2，则f(X)lim」x0Xlim3x03x(x)23当X由2变到x2时,相应的函数增量为yf(xX)f(x)12x6x2(x)3百度文库于是126x(x)2,则f(x)l

6、xm02lim126x(x)212x0定义：如果函数yf(x)在区间(a,b)内每一点都可导，称yf(x)在(a,b)内可导2.函数yf(x)在一点x处导数——导函数将X。处导数定义中的X。换成x，如果y与x之比当x0时的极限存在，则称函数yf(x)在点x处可导，并称这个极限为函数yf(x)在点x处的导数，记为f(x)，f(x)limf(xx)f(x)X0x显然，当x在某区间I内变化时，f(x)是x的函数•因此称之为导函数•导函数的记号还有y,屯或致dxdx求导举例：求函数yf(x)的导数y的步骤：(1)求增yf(xx)f(x),(2)算比值：亠f(xx)f

7、(x),xx..y(3)取极限：ylimo——.x0x1、常数函数的导数函数yC(C是常数)的导数.3百度文库3百度文库解(1)求增量：因为yC，即不论x取什么值，y的值总等于C，所以y0；(2)算比值：y0；x(3)取极限：ylimylim00.即常数函数的导数等于零•x0xx02、幕函数的导数::函数f(x)xn(n为正整数)在xa处的导数a解f(a)limxaf(x)f(a)anxlimn1n2limxaxxan1n1ana3百度文库把以上结果中的a换成x得f(x)nxn1。3百度文库3百度文库利用这公式，可以很方便地求出幕更一般地，对于幕函数这就是

8、幕函数的导数公式。函数的导数yx(为常数)，有x这公式的证明将在以后讨论。3百度文库3百度文库1x212.x3百度文库3百度文库3、正弦函数与余弦函数的导数函数sinx的导数.解(1)求增量:yf(xx)f(x)sin(xx)sinx，3百度文库由和差化积公式有:y2cos©X)X.(xx)xsin223百度文库3百度文库(2)算比值:2cos(x2cos(x上)sin^22X、.x)sin——22xcos(x2sinxx)「(3)取极限:dydxy!叫二Ixmocos(xxsin一-)-^-2x2cosx用类似的方法，可求得余弦函数y=cosx的导数为:

9、.(cosx)'sinx3百度文库4、对数函数ylo