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《常微分方程考研复试真题及标准答案.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、常微分方程汁算题2•指出下列方程中的阶数，是线性方程还是非线性方程，并说明理由：(1)t2^-+t—+(t2-l)u=OJrdt(2)©=x'+y2;clxz、dyy(3)—宀=0dxx13•求曲线族y=C,ex+C2xev所满足的微分方程4.验证函数y=C,e2v+C2e-2v是微分方程y-4y=0的解，进一步验证它是通解。5•试用一阶微分方程形式不变性求解方程—=2xdx6•什么叫积分一个微分方程？7.什么是求解常微分方程的初等积分法？8.分离变量一阶方程的特征是什么？9.求下列方程的通解%(i>y=sinx(2>x2y2y+l=
2、ydy(3)tgx—=l+ydxdy(4>—=exp(2x-y)dxdyy2-i⑸—=-Z—dx2(6)x2ydx=(l-y2+x-2x2y2)dx(7)(x2+1)(y2-1)dx+xydy=010.叙述齐次函数的左义11.试给出一阶方程y=f(x,y)或p(x,y)dx+q(x,y)dy=0为齐次方程的特征。说明二个方程的关系。12.求解齐次方程通常用什么初等变换，新旧函数导数关系如何？13.求解下列方程空=dx14.求解下列方程(1)(x+2y)dx—xdy=0dyxydxx2+y16（x"+y'）dx—2xydy=017.—=
3、-一-——dx2x一y+59-将（2兀一4尹+6）必+匚+卩一3）旳=0化为齐次方程。1.求下列方程通解（或通积分）（1）解$垃0cos品0-co$&$in少咖=0.C2）解sec2+sec2^tg6d&=0.（3）解字十莎.ax（4）解2尹兀空一歹=x（z2-y^ctgx丿2-求解方程/+/+x2｝；-x=0;3.求解方程V-'y=x历;4.求解方程”=卩2一八一15.求方程y=2a满足条件J；〃b=2。6.解方程”十尹理卫=卩（力竺凹@0）是兀的已知可微函数）。dxax7•试证明；凡具有通解为y=c^（x）+yr（2f）对/求导
4、得—=C7^（X）+^*（X）O8.若己知用《加i方程的两个特解尹1（劝必（M试证明它的通解就可以由一次可积而得28371.写出下列曲线的软方程⑵=£(u>0).(3)u=2p2+1.芒0*）22.求解方程「士二=1・a2b23.求方程M十孵=1的通解。4-求方程0*尸=y的通解。5-求方程兔二0*）2+1的通琳。6.0-尸=07-〃（1十护）=1。1.*-2）=1。9-”2_2妙二尹20一1）.10-y=ln（l十丁'2）3844自测题1.什么是方程的奇解。2.叙述去-判别曲线的概念。3.叙述单参数曲线族的包络。4.简述徴分方程的&
5、-判别曲线。5-求方程—尸兰仞彳一暮”尸q27（1）目一判另11曲线（2）求方程的通解（3）求方程的奇解6.求方程（y'）2=y的通解与"判別曲线7.求下列方程的奇解（1）9册2+4=0；⑵8^,3=27y3（3）厂列一屮；（4）y=xy-smy（5）讨论”=——5奇解y（6）求y=xy*+y2,当x=2,>/=-1的解。4549自测题1.一阶线性齐次方程积分曲线的特点是什么？2.一阶齐次方程几何特征63.(1)什么是等角轨线？(2)什么是正交轨线？4•试证xy=-y9的解，试给出欧拉格式计算卩⑺)在心=丄，乃=二…卫厂1的近似值#恣
6、汽&试求出第5题初值问题的精确解。=上相互正交。，试找出相互正交的曲线族。(1)^=<2/x2；(2)尹=/兀+4；(3)»=2兀+方；(4妙=E；(5)/2=E.(6)x2+^2+cy=05056自1.叙劇分方程琳的几何意义与微分方程几何特征的关系。2.方程不可积，求积分曲线在这(和沟)応切线的斜率。3.求方程过点(％儿)的积分曲线切线方程。4.求下列方程过已矢嗚积分曲线的切线方程。(1〕字=宀只(°,小(b0)(1,1)ax二y+x22=x+yX=入+—，5・什么叫等倾线。6.手工作近似线素场的步骤。7.作dydx十，的近似线耒场
7、。5762自测題1.常微分方程离散化根据的思想。2.简述欧拉折线法的意义。3.简单叙欧拉折线的作法。4.在一个小区间内估计过点P/心,沁的斜率。绘草图说明。5.设X>)是初值问题字=1+3_护灿起自豳21.判断方程空=「城在因域；df：（1）0<・xx（2）应才一1W/W1,—一WpW-24尸4上是否满足定理的条件。2.判断下列方程在什么区域上解存在性_?（1〕字―"；⑵字=x+siny：⑶叟=戏223.证明/D=
8、^
9、在（0,0）处不可微。4.讨论函数/0,为=厲二宁是否满足L农-条件。5.讨论了（儿刃二:11y=0是否满足Lip_
10、条件。6.给出积分方程及解的定义。6971自测题：1・证明序列11T.2）；｛卩”仗）｝/=0,1,2,…一致收飲等价干级数yo+2（yji（力-力・1（刃）_致收敛。»=12.求下列初值间题一、二次近似。旳-.2(1)
