2017考研真题专题训练(10)-常微分方程答案.pdf

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1、2017考研真题专项训练(10)常微分方程一、选择（1~8题，每题4分,共32分）1、(2008,I,III,9)微分方程xyy0满足条件y(1)1的解是y（）.1111（A）.(B).(C).(D).22xxxxdyydydx【解析】由，得．两边积分，得ln

2、

3、yxln

4、

5、C．dxxyx11代入条件y(1)1，得C0．所以y．【答案】应填y．xxy()1x【类似】(2006,I,II,2)微分方程y的通解是__________x【分析】本方程为可分离变量型，先分离变量

6、，然后两边积分即可d1y【解析】原方程等价为1dx，yxx两边积分得lnylnxxCln，整理得方程通解yCxe2x22.(2016,II,11)以yxe和yx为特解的一阶非齐次线性微分方程为（）22（A）yy2x(B)yyxx222(C)yyxx2(D)yy2x【解析】设一阶非齐次线性微分方程为ypxyqx()().22xx由线性微分方程齐次与非齐次解之间的关系知x()xee为ypxy()0的解xx.即ep()xe0∴px(

7、)1.2yx2∴qx()ypxy()2xxpx()12故一阶非齐次线性微分方程：yyxx2.3、(2006,III.10）设非齐次线性微分方程yPxyQx()()有两个不同的解y(),(),xyxC12为任意常数，则该方程的通解是（）（Ａ）Cy()xy()x.（Ｂ）y()xCy()xy()x.12112（Ｃ）Cy()xy()x.（Ｄ）y()xCy()xy()x12112【分析】利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.1【解析】由于y()xyx

8、()是对应齐次线性微分方程yPxy()0的非零解，所以12它的通解是YCyxyx()()，故原方程的通解为12yyxYyxCyxyx111()()()2()，故应选(Ｂ).【评注】本题属基本题型，考查一阶线性非齐次微分方程解的结构：yyY*.其中y*是所给一阶线性微分方程的特解，Y是对应齐次微分方程的通解.2xx4、(2011,II,4)微分方程yy''ee(0)的特解形式为（）xxxxxx2xx（A）ae()e（B）axe()e（C

9、）xae()be（D）xaebe()【分析】考查二阶常系数线性非齐次方程待定特解的形式。叠加原理22【解析】特征方程为r0，解得rr,2xx2xx所以y''ye的特解为ya*xe、y''ye的特解为yb*xe。122xxxx由叠加原理知y''yee的特解形式为xae()be2【类似】(2004,II,11)微分方程yyx1sinx的特解形式可设为2（A）yaxbxcx(sinAxBxcos).2（B）yxax(s

10、bxcAinxBcosx).2（C）yaxbxcAxsin.2（D）yaxbxcAxcos【分析】利用待定系数法确定二阶常系数线性非齐次方程特解的形式.2【解析】对应齐次方程yy0的特征方程为10,特征根为i,202对yyx1(1ex)而言,因0不是特征根,从而其特解形式可设为2yaxbxc1ix对yysinxIe(),因i为特征根,从而其特解设为yxAxBx(sincos)m222从而yyx1sinx的特解为y

11、axbxcxA(sinxBcos)x2【评注】这是一道求二阶常系数线性非齐次方程特解的典型题，此题的考点是二阶常系数线性方程解的结构及非齐次方程特解的形式.x5、（2008,I,II,3）在下列微分方程中，以yCeCxcos2Cxsin2（CCC,,为123123任意的常数）为通解的是()(A)yyyy440.(B)yyyy440.(C)yyyy440.(D)yyyy440.x【解析】由yCeCcos2xCsin

12、2x，可知其特征根为1231，2i，故对应的特征值方程为12,32(1)(2ii)(2)(1)(4)32324444所以所求微分方程为yyyy440【答案】应选(D).366、(2004,II.5）微分方程()20yxdxxdy满足y的特解为x1513131313()Ayxx;()Byxx