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《2018常微分方程考研复试真题及答案.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、常微分方程计算题2.指出下列方程中的阶数，是线性方程还是非线性方程，并说明理由；（1）t+t+(t-1)u=0（2）=x+y;（3）+=03.求曲线族y=Ce+Cxe所满足的微分方程4．验证函数y=Ce+Ce是微分方程y-4y=0的解，进一步验证它是通解。5.试用一阶微分方程形式不变性求解方程=2x6.什么叫积分一个微分方程？7．什么是求解常微分方程的初等积分法？8．分离变量一阶方程的特征是什么？9．求下列方程的通解（1）y＝sinx（2）xyy+1=y（3）tgx=1+y（4）=exp(2x-y)（5）=（6）xydx=(1-y+x-xy)dx（7）(x+
2、1)(y-1)dx+xydy=010.叙述齐次函数的定义11．试给出一阶方程y＝f(x,y)或p(x,y)dx+q(x,y)dy=0为齐次方程的特征。说明二个方程的关系。12．求解齐次方程通常用什么初等变换，新旧函数导数关系如何？13．求解下列方程＝14．求解下列方程（1）（x+2y）dx—xdy=0(2)=+15.=16(x+y)dx—2xydy=017.=18―――――1920―――――――2728――――3738――――4445――――4950――――5657――――6263――――6869―――7172――――8182――――8788――――9293
3、――――9495――――9798――――100101――――105106――――113114――――1222（1）未知函数u的导数最高阶为2，u,u,u均为一次，所以它是二阶线性方程。（2）为y最高阶导数为1，而y为二次，故它是一阶非线性常微分方程。（3）果y是未知函数，它是一阶线性方程；如果将x看着未知函数，它是一阶非线性方程。3.提示：所满足的方程为y－2y+y=04．直接代入方程，并计算Jacobi行列式。5.方程变形为dy=2xdx=d(x),故y=x+C6.微分方程求解时，都与一定的积分运算相联系。因此，把求解一个微分方程的过程称为一个微分方程。微
4、分方程的解又称为（一个）积分。7．把微分方程的通解用初等函数或通过它们的积分来表达的方法。注意如果通解能归结为初等函数的积分表达，但这个积分如果不能用初等函数表示出来，我们也认为求解了这个微分方程，因为这个式子里没有未知函数的导数或微分。8．y＝f(x,y)主要特征是f(x,y)能分解为两个因式的乘积，其中一个因式仅含有x,另一因式仅含y，而方程p(x,y)dx+q(x,y)dy=0是可分离变量方程的主要特征，就像f(x,y)一样，p,q分别都能分解成两个因式和乘积。9（1）积分得x=-cosx+c（1）将方程变形为xydy=(y-1)dx或＝，当xy0,y
5、1时积分得＋y+ln+=c(3)方程变形为＝dx,当y-1,sinx0时积分得 y=Csinx-1(4)方程变形为 exp(y)dy=exp(2x)dx,积分得exp(y)＝exp(2x)＋C(5)当y1时，求得通积分ln=x+c(6)方程化为 xydx=(1-y)(1+x)dx或dx=dy,积分得x－arctgx－ln+y=C(7)当x(y--1)0时，方程变形得dx+=0两边积分并化简得 y＝1＋exp(-x)10.二元函数f(x,y)满足f(rx,ry)=rf(x,y),r.>0,则称f(x,y)为m次齐次函数。m=0则称它为0
6、次齐次函数。11．如果f(x,y)是0次齐次函数，则y＝f(x,y)称为齐次方程。如果p(x,y)和q(x,y)同为m次齐次函数，则pdx+qdy=0为齐次方程。如果q0则＝－f(x,y)，由p,q为m次齐次函数推知f(x,y)为0次齐次函数故y＝f(x,y)为齐次方程。12．求解齐次方程经常用变换y=zx.用函数乘积导数的公式得 =x＋z13．这是齐次方程。令y=zx,=x＋z,将方程化为z+x=,并即x＝分离变量得积分得ln
7、n
8、+ln(z+2)-ln
9、z
10、=ln
11、C
12、,或＝C用z=yx代入得原来的变量。 x＋y＝Cy.注意y=0方程的解。14．（1
13、）当x0时，方程化为=1＋2令y=ux,则原方程化为x=1+u,当1+u0时,可分离变量得u+1=cx:;通解为y=cx+x（2）作变换y=ux,则原方程化为2udu=于是u=ln
14、x
15、+C,代回原变量，得通积分： y＝x（ln
16、x
17、+C） 15.这是齐次方程。令y=zx原方程化为－du=两边积分得 －ln
18、z
19、=ln
20、cx
21、用z=代入得y=exp()y=0也是原方程的解。16.变形为= + ，令y=ux得==积分得-ln
22、1-u
23、=ln
24、x
25、--c,代原变量得通积分 x-y=cx17.方程右边分子，分母两条直线交点为（x,y）=(-2
26、,1)作变换u=x+2,v=y-1,原方程化为＝，此
