[学科竞赛]放缩技巧及不等式证明方法总汇(20210126054507).docx

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1、不等式放缩技巧及证明方法(构造法)11一、裂项放缩n2例1.(1)求v=r4k2-1的值;1解析：(1)因为24n2-1—所以导2j__J=2n(2n-1)(2n1)2n「12n1k亠4F_1一_2n：：M_2n111⑵因为17Mn24所以l

2、.1111i25L厂^1+2巧弋十八+2n—2n书产1七=3常用放缩技巧=212n_1丄2n1⑵1cH1C2(n1)n(n-1)n(n-1)n(n-1)(3)T丄-Crn!H(n_r)!1：：：7!：：：r(r_1)116(「-2)1⑷(11)nn：：：115n

3、(n-1)'2(5)12n(2nV)2n-1(6),1an+2—TH—1(7)2(%和1■:-/n)——寸n—-2(.n」n-1)(8)212n1_2n311nn1「n2(2n1)2-(2n-3)211*1!_J1k(n1-k)n亠1-kkn“1'n(nT亠k)11(10)n(n1)!n!一⑴1)!(11)1<<2^'2n41—^2nJ)=n•2112-/-2(11)2n(2n-1)22n2n(12)(13)(14)(15)一⑵/)(2n/)："可-1)(2^-2)一(2n—1)(2n—1)歹J-&(

4、n_2)1-./nn2V—it—_-I、n(n—1)(n-1)：』n(n—1)』n(n1)n亠1—..,：n-11n，1?.jn-111nA」n亠12n1=22n*-1)k!(k1)!(k2)!i21一j2i-j2n12nnnnn2.3=3(2-1).2=-2-1—32n-131(k1)!(k2)!(15)n(n■1).2.2i"j例2.(1)求证：1•丄•丄17222"35(2n-1)612(2n-1)(n-2)111⑵求证：-4163611<--一24n⑶求证:丄•£!,4.…-135_(茁-叭.

5、.2n1-1224246246^2n⑷求证：2(Jn+1―)£1十丄十丄卡…+丄

6、n1•.n2^-^H-1)<1+丄七丄屮■'+丄、2*3、n再证[芒(.河1-：：2P)n•2nJ*心n」•nJ¥2斗2而由均值不等式知道这是显然成立的，11112(.2n1-1)比23・n例3.求证：6n(n1)(2n1)•…•丄2n解析:一方面：因为11n一4=21所以2nd2n川1n-1'角；：：1234"2n_12n1x3x3另一方面:q「T八九占…捫^活吩6n当n_3时,n6n，当n=1时,6n=1，1丄,n*(n41)(2n41)(n+1)(2n+1)49n2当n=2时,6nJJ..(n1

7、)(2n1)"49(n1^1)-14例4.(2008年全国一卷)设函数f(x)=x—xlnx.数列｛an｝满足。©疋厲牛二心〉设^(an1)，整数k>a1…b.证明:ak1a1Inbb.x3x3-H-*解析:由数学归纳法可以证明:an?是递增数列，故存在正整数m，使am_b，则ak1.ak亠b,否则若am:::b(m_k)则由0：：：a1_am:::b：：：1知k_ikamlnam_a1lnam:::3lnb：：：0，ak1=ak—aklnak=q_、amlnam，因为'amlna^；:k(a1lnb

8、)，m士m±于是ak1.at■k

9、a1Inb

10、丄&-(b-aj=b例5.已知n,mEN+xa丄,Sm=1m+2m+3m十"、+nm,求证：nm十£(m也)SnC(n+1)m+—1解析:首先可以证明：(1x)n_1nxnm1二nm1_(n_1)m1(n_1)m1_(n「2)m1…1m1「0=「[km1_(k_1)m1]所以要证k±nm十£(m北)Sn<(n切m+—1只要证：<'[km1-(k-1)m']=：:(m-1^'km：：:(n，1)m1—1=(n•1)m"-n”1•nm"-(n—1)m1，2m1

11、」m1=、"[(k•1)m1-km打kgk绘k匕故只要证'-[km1_(k_1)m1]：：：(m-1)x'km：：:、■[(k1)m1-km1]，即等价于k1k1k幺x3km+_（k_1）m+<（m申）km<（k+1）m+_km即等价于4+m+1=（4+1）m+4吐