放缩技巧及不等式证明方法(构造法)总汇

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1、不等式放缩技巧及证明方法（构造法）一、裂项放缩例1.(1)求的值;(2)求证:.解析:(1)因为,所以(2)因为,所以常用放缩技巧(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(11)(12)(13)(14)(15)(15)例2.(1)求证:(2)求证:(3)求证:(4)求证：解析:(1)因为,所以(2)(3)先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先,所以容易经过裂项得到再证而由均值不等式知道这是显然成立的，所以例3.求证:解析:一方面:因为,所以另一方面:当时,,当时,,当时,,所以综上有例4.(2008年全国一卷)设函数.

2、数列满足..设，整数.证明:.解析:由数学归纳法可以证明是递增数列,故存在正整数,使,则,否则若,则由知,,因为,于是例5.已知,求证:.解析:首先可以证明:所以要证只要证:故只要证,即等价于,即等价于而正是成立的,所以原命题成立.例6.已知,,求证:.解析:所以从而例7.已知,,求证:证明:,因为,所以所以二、函数放缩例8.求证：.解析:先构造函数有,从而因为所以例9.求证:(1)解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案函数构造形式:,例10.求证:解析:提示:函数构造形式:当然本题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数,首先:,从而,取有,,所以有,,…,,,相加

3、后可以得到:另一方面,从而有取有,,所以有,所以综上有例11.求证:和.解析:构造函数后即可证明例12.求证:解析:,叠加之后就可以得到答案函数构造形式:(加强命题)例13.证明:解析:构造函数,求导,可以得到:,令有,令有,所以,所以,令有,所以,所以例14.已知证明.解析:,然后两边取自然对数,可以得到然后运用和裂项可以得到答案)放缩思路：。于是，即注：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩：，即例15.(2008年厦门市质检)已知函数是在上处处可导的函数,若在上恒成立.(I)求证：函数上是增函数；(II)当；(III

4、)已知不等式时恒成立，求证：解析:(I),所以函数上是增函数(II)因为上是增函数,所以两式相加后可以得到(3)……相加后可以得到:所以令,有所以(方法二)所以又,所以例16.(2008年福州市质检)已知函数若解析:设函数∴函数）上单调递增，在上单调递减.∴的最小值为，即总有而即令则三、分式放缩姐妹不等式:和记忆口诀”小者小,大者大”解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之.例19.姐妹不等式:和也可以表示成为和解析:利用假分数的一个性质可得即例20.证明:解析:运用两次次分式放缩:(加1)(加2)相乘,可以得到:所以有四、分类放缩例21.求证:解析:例22.(2004年全国

5、高中数学联赛加试改编)在平面直角坐标系中,轴正半轴上的点列与曲线（≥0）上的点列满足，直线在x轴上的截距为.点的横坐标为,.(1)证明>>4，;(2)证明有，使得对都有<.解析:(1)依题设有：，由得：,又直线在轴上的截距为满足显然，对于，有(2)证明：设，则设，则当时，。所以，取，对都有：故有<成立。例23.(2007年泉州市高三质检)已知函数，若的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0].若数列满足，记数列的前项和为，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数都有？并证明你的结论。解析:首先求出,∵∴,∵,,…,故当时,,因此，对任何常数A，设是不小于A的最小正整数，则当时,

6、必有.故不存在常数A使对所有的正整数恒成立.例24.(2008年中学教学参考)设不等式组表示的平面区域为,设内整数坐标点的个数为.设,当时,求证:.解析:容易得到,所以,要证只要证,因为,所以原命题得证.五、迭代放缩例25.已知,求证:当时,解析:通过迭代的方法得到,然后相加就可以得到结论例26.设,求证:对任意的正整数k,若k≥n恒有:

7、Sn+k－Sn

8、<解析:又所以六、借助数列递推关系例27.求证:解析:设则,从而,相加后就可以得到所以例28.求证:解析:设则,从而,相加后就可以得到例29.若,求证:解析:所以就有七、分类讨论例30.已知数列的前项和满足证明：对任意的整数，

9、有解析:容易得到,由于通项中含有，很难直接放缩，考虑分项讨论：当且为奇数时（减项放缩），于是①当且为偶数时②当且为奇数时（添项放缩）由①知由①②得证。八、线性规划型放缩例31.设函数.若对一切，，求的最大值。解析:由知即由此再由的单调性可以知道的最小值为，最大值为因此对一切，的充要条件是，即，满足约束条件，　　　由线性规划得，的最大值为5．九、均值不等式放缩例32.设求证解析:此数列的通项为，，即注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过“度”了！②