高中数学第二章数列2.3等差数列的前n项和一导学案新人教A版必修5.docx

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1、高考2.3等差数列的前n项和（一）【教学目标】1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.2.经历公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个．【教学过程】一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《2.3等差数列的前n项和（一）》课件“情景导入”部分，思考与等差数列前n项和有关的两个实际问题的解法，从而引发进一步学习相关知识的兴趣.二、自主学习教材整理　等差数列的前n项和阅读教材P42～P44例2，完成下列问题．1．数列的前n项

2、和的概念一般地，称a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.2．等差数列的前n项和公式7/7高考已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式Sn＝Sn＝na1＋d三、合作探究问题1高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和．但如果是求1＋2＋3＋…＋n，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？提示：不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对．但我们可以采用倒序相加来回避这个问题：设Sn＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n，又Sn＝n＋(n－1

3、)＋(n－2)＋…＋2＋1，∴2Sn＝(1＋n)＋[2＋(n－1)]＋…＋[(n－1)＋2]＋(n＋1)，∴2Sn＝n(n＋1)，∴Sn＝.问题2等差数列{an}中，若已知a2＝7，能求出前3项和S3吗？提示：S3＝＝3＝3a2＝21.问题3我们对等差数列的通项公式变形：an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，分析出通项公式与一次函数的关系．你能类比这个思路分析一下Sn＝na1＋d吗？7/7高考提示：按n的降幂展开Sn＝na1＋d＝n2＋(a1－)n是关于n的二次函数形式，且常数项为0.问题4如果{an}是等差数列，那么a1＋a2＋…＋a10，a11

4、＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差数列吗？提示：(a11＋a12＋…＋a20)－(a1＋a2＋…＋a10)＝(a11－a1)＋(a12－a2)＋…＋(a20－a10)＝＝100d，类似可得(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝100d.∴a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差数列．探究点1等差数列前n项和公式的应用命题角度1　方程思想例1　已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？提示：由

5、题意知S10＝310，S20＝1220，将它们代入公式Sn＝na1＋d，得到解方程组得∴Sn＝n×4＋×6＝3n2＋n.7/7高考名师点评：(1)在解决与等差数列前n项和有关的问题时，要注意方程思想和整体思想的运用；(2)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二．命题角度2　实际应用例2　某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这

6、件家电实际花费多少钱？提示：设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20，则a1＝50＋1000×1%＝60(元)，a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5(元)，…a10＝50＋(1000－9×50)×1%＝55.5(元)，即第10个月应付款55.5元．由于{an}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，所以有S20＝×20＝1105(元)，即全部付清后实际付款1105＋150＝1255(元)．名师点评：建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．本题是根据首项和公差选择前n项和公式进行求解．探究点2　等差数列前n项

7、和的性质的应用7/7高考例3　(1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m；(2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，求的值．提示：(1)在等差数列中，∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．∴30,70，S3m－100成等差数列．∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.(2)＝＝＝＝＝.名师点评：等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．四、当堂检测1．在等差数列{an}中，若S10＝120，则

8、a1＋a10的值是(　　)A．12B．24C．36D．482．记等