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1、抛物线专题知识梳理 1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质()： 标准方程 图形 焦点 准线 范围 对称轴 轴 轴 顶点 （0，0） 离心率 2.抛物线的焦半径、焦点弦 ①的焦半径;的焦半径； ②过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p. ③AB为抛物线的焦点弦，则，，= 3.的参数方程为（为参数，的参数方程为（为参数）. 重难点突破 重点:掌握抛物线的定义和标准方程，会运用
2、定义和会求抛物线的标准方程，能通过方程研究抛物线的几何性质 难点:与焦点有关的计算与论证 重难点:围绕焦半径、焦点弦，运用数形结合和代数方法研究抛物线的性质 1.要有用定义的意识 问题1：抛物线y=4上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是() A.B.C.D.0 １５ 点拨：抛物线的标准方程为，准线方程为,由定义知，点M到准线的距离为1，所以点M的纵坐标是 2.求标准方程要注意焦点位置和开口方向 问题2：顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点（3，2）的抛物线的条
3、数有 点拨：抛物线的类型一共有4种，经过第一象限的抛物线有2种，故满足条件的抛物线有2条 3.研究几何性质，要具备数形结合思想，“两条腿走路” 问题3：证明：以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切 点拨：设为抛物线的焦点弦，F为抛物线的焦点，点分别是点在准线上的射影，弦的中点为M，则，点M到准线的距离为，以抛物线焦点弦为直径的圆总与抛物线的准线相切 热点考点题型探析 考点1抛物线的定义 题型利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换 [例1]已知点P在抛物线y2=4x
4、上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为 【解题思路】将点P到焦点的距离转化为点P到准线的距离 [解析]过点P作准线的垂线交准线于点R，由抛物线的定义知，，当P点为抛物线与垂线的交点时，取得最小值，最小值为点Q到准线的距离,因准线方程为x=-1,故最小值为3 【名师指引】灵活利用抛物线的定义，就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换，一般来说,用定义问题都与焦半径问题相关 【新题导练】 1.已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且、、成等
5、差数列，则有（ ） A．B． C．D. ［解析］C由抛物线定义，即：． 2.已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,当最小时, １５ M点坐标是() A.B.C.D. [解析]设M到准线的距离为,则，当最小时，M点坐标是，选C 考点2抛物线的标准方程 题型:求抛物线的标准方程 [例2]求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： (1)过点(-3,2)(2)焦点在直线上 【解题思路】以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论. [解析](1)设
6、所求的抛物线的方程为或, ∵过点(-3,2)∴ ∴ ∴抛物线方程为或, 前者的准线方程是后者的准线方程为 (2)令得，令得， ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时, ∴，此时抛物线方程;焦点为(0,-2)时 ∴，此时抛物线方程. ∴所求抛物线方程为或,对应的准线方程分别是. 【名师指引】对开口方向要特别小心，考虑问题要全面 【新题导练】 3.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值 [解析] 4.对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： ①焦点在
7、y轴上； １５ ②焦点在x轴上； ③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的通径的长为5； ⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）. 能使这抛物线方程为y2=10x的条件是____________.（要求填写合适条件的序号） [解析]用排除法，由抛物线方程y2=10x可排除①③④，从而②⑤满足条件. 5.若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与Y轴的交点，A为抛物线上一点,且，求此抛物线的方程 [解析]设点是点在准线上的射影，则，由
8、勾股定理知，点A的横坐标为，代入方程得或4，抛物线的方程或 考点3抛物线的几何性质 题型：有关焦半径和焦点弦的计算与论证 [例3]设A、B为抛物线上的点,且(O为原点),则直线AB必过的定点坐标为__________. 【解题思路】由特殊入手，先探求定点位置 ［解析］设直线OA方程为,由解出A点坐标为 解出B点坐标为，直线AB方程为,令得，直线AB必过的定点 【名师指引】（1）由于是填空题，可取两特殊直线AB,求交点即可；（2）B点坐标可由A点坐标用换k而得。 【
