2020年高考数学母题题源解密13 抛物线及其性质（山东、海南专版解析版）.docx

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1、专题13抛物线及其性质【母题题文】斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．【答案】【试题解析】∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为，又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：代入抛物线方程消去y并化简得，解法一：解得所以解法二：设，则,过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.故答案为.【命题意图】1．理解数形结合的思想．2．了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．3．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质．【命题方向】抛物线问题一般以选择题或填空题的形式考查，主要以抛物线的定义

2、、标准方程和焦点弦问题为主，考查数形结合的思想．【答题模板】1．抛物线的离心率e＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦的问题，可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即或，使问题简化．2．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论．特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程．3．与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标定还是由交点纵坐标定，是p与交点横（纵）坐标的和还是与交点横（纵）坐标的差，这是

3、正确解题的关键．【方法总结】1．求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点的位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．2．确定及应用抛物线性质的关键与技巧：（1）关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．（2）技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解．3．抛物线中经常根据定义把点到焦点的距离和点到准线的距离进行互相转化，从而求解．4．有关抛物线上一点M到抛物线焦点F和到已知点E（E在抛物线内）的距离之和的最小值问题，可依据抛物线的图形，过

4、点E作准线l的垂线，其与抛物线的交点到抛物线焦点F和到已知点E的距离之和是最小值．1．（2020·河南洛阳·高三月考）已知点为抛物线：上一点，且点到轴的距离比它到焦点的距离小3，则（）A．3B．6C．8D．12【答案】B【解析】【分析】由抛物线的定义可知点到焦点的距离等于它到准线的距离，可得，从而得出答案.【详解】由题得，抛物线的准线方程为，由抛物线的定义可知，点到焦点的距离等于它到准线的距离，所以点到轴的距离比它到准线的距离小3，于是得，所以．故选：B【点睛】本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题.2．（2020·湖南雨花·雅礼中学高三月考）斜率为的直线l过抛物线的焦点F

5、，若l与圆相切，则（）.A．12B．8C．10D．6【答案】A【解析】【分析】首先根据题意直线l方程为，根据直线l与圆相切，得到，再解方程即可.【详解】抛物线的焦点，设直线l方程为，即，因为l与圆相切，所以圆心到直线的距离为，解得。故选：A.【点睛】本题主要考查抛物线的定义，同时考查直线与圆的位置关系，属于简单题.3．（2020·山西运城·高三月考）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在抛物线上，且，点是抛物线的准线上的一动点，则的最小值为（）.A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】求出点坐标，做出关于准线的对称点，利用连点之间相对最短得出为的最小值．【详解】解：抛物线的

6、准线方程为，，到准线的距离为2，故点纵坐标为1，把代入抛物线方程可得．不妨设在第一象限，则，点关于准线的对称点为，连接，则，于是故的最小值为．故选：A．【点睛】本题考查了抛物线的简单几何性质，属于基础题．4．（2020·全国高三月考）已知抛物线：上的点到焦点的距离为，若点在：上，则点到点距离的最小值为（）A．B．C．D．2【答案】B【解析】【分析】根据抛物线焦半径得到，代入抛物线方程得到点坐标，再利用点到圆心的距离减去半径即为答案.【详解】依题意，，故，则；由对称性，不妨设，故到点距离的最小值为.故选：B.【点睛】本题考查抛物线的方程、几何性质，点到圆上点距离最小的问题.5

7、．（2020·广东广州·高三月考）已知抛物线（）的准线与圆相交所得的弦长为，则的值为（）A．B．1C．2D．4【答案】C【解析】【分析】先求出抛物线的准线方程，然后利用半弦长、半径和弦心距的关系建立方程求解p即可.【详解】抛物线（）的准线方程为，圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为2，圆心到准线的距离为，所以有，解得.故选：C.【点睛】本题考查抛物线，考查直线和圆的位置关系，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.6．（2020·江苏鼓楼·金陵中学高三月考）如图，过抛物线（）的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准