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《2021_2022学年高中数学第一章数列3.1.1等比数列学案含解析北师大版必修5202103151239.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、高考§3 等比数列3.1 等比数列第1课时等比数列学习目标1.理解等比数列的概念,并掌握等比数列的通项公式(数学抽象)2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系(逻辑推理)3.体会等比数列与指数函数的关系(数学抽象)必备知识·自主学习导思1.等比数列中有0项吗?2.等比数列的通项公式一定是指数函数吗?1.等比数列的定义如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫作等比数列,这个常数叫作等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0).如何用符号语言表达等比数列的定义?提示:=常数q(n
2、≥2).2.等比数列的递推公式与通项公式已知等比数列{an}的首项为a1,公比为q(q≠0),则递推公式通项公式=q(n≥2,n∈N+)an=a1qn-1(a1≠0,q≠0)高考观察等差数列、等比数列的通项公式,比较有何异同?提示:n个a相加,a+a+…+a=na;n个a相乘,a·a…a=an,它们加法,乘法的“运算符号”不同,书写形式不同,“结构”是相同的,我们称na与an“同构”.等差数列,等比数列的通项公式与此类似.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)a,aq,aq2,aq3,…是等比数列.( )
3、(2)不存在既是等差数列又是等比数列的数列.( )(3)等比数列的图像在一个指数函数的图像上.( )提示:(1)×.当a=0时,所有项都等于0;当q=0时,第2项及以后的项都等于0,这不符合等比数列的定义.(2)×.任意一个非零常数列既是等差数列又是等比数列.(3)×.由an=a1qn-1=qn,可知,当=1并且q>0且q≠1时,等比数列的图像才在指数函数图像上.2.下列数列为等比数列的是( )A.2,22,3×22,…B.,,,…C.s-1,(s-1)2,(s-1)3,…D.0,0,0,…【解析】选B.A,C,
4、D不是等比数列,A中不满足定义,C、D中项可为0,不符合定义.3.已知数列{an}是等比数列,且a1=,a4=-1,则数列{an}的公比q为. 【解析】q3==-8,所以q=-2.答案:-24.(教材二次开发:习题改编)若等比数列的首项为,末项为,公比为高考,则这个数列的项数为( )A.3B.4C.5D.6【解析】选B.由等比数列通项公式得,·=,所以==,所以n=4.关键能力·合作学习类型一等比数列的判断和证明(逻辑推理)【典例】已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1.(1)求证:数列{an+1}是等比
5、数列;(2)求an的表达式.【思路导引】(1)根据要证明的数列把条件转化为an+1+1=2(an+1).(2)写出{an+1}的通项公式后再写an的表达式.【解析】(1)因为an+1=2an+1,所以an+1+1=2(an+1).因为a1=1,故an+1≠0,则有=2.所以{an+1}是等比数列.(2)由(1)知{an+1}是以a1+1=2为首项,以2为公比的等比数列,所以an+1=2·2n-1,即an=2n-1.判断一个数列{an}是等比数列的方法(1)定义法:若数列{an}满足=q(q为常数且不为零)或=q(n≥2
6、,q为常数且不为零),则数列{an}是等比数列.高考(2)通项公式法:若数列{an}的通项公式为an=a1qn-1(a1≠0,q≠0),则数列{an}是等比数列.(3)构造法:在条件中出现an+1=kan+b关系时,往往构造数列,方法是把an+1+x=k(an+x)与an+1=kan+b对照,求出x即可.已知数列{an}的前n项和Sn=2-an,求证:数列{an}是等比数列.【证明】因为Sn=2-an,所以Sn+1=2-an+1.所以an+1=Sn+1-Sn=(2-an+1)-(2-an)=an-an+1.所以an+1
7、=an,又因为S1=2-a1,所以a1=1≠0,又由an+1=an知an≠0,所以=.所以数列{an}是首项为a1=1,公比为的等比数列.类型二等比数列的应用(逻辑推理)角度1 等比数列的实际应用 【典例】某人买了一辆价值10万元的新车,专家预测这种车每年按10%的速度贬值.(1)用一个式子表示第n(n∈N+)年这辆车的价值;(2)如果他打算用满3年时卖掉这辆车,他大概能得到多少钱?【思路导引】“每年按10%的速度贬值”则车的剩余价值为以(1-10%)为公比的等比数列.【解析】(1)从第一年起,每年车的价值(万元)依次
8、设为:a1,a2,a3,…,an,由题意,得a1=10,a2=10×(1-10%),a3=10(1-10%)2,….由等比数列定义,知数列{an}是等比数列,首项a1=10,公比q=1-10%=0.9,高考所以an=a1·qn-1=10×0.9n-1.所以第n年车的价值为an=10×0.9n-1万元.(2)当他用满3年时,车的价值
