2021_2022学年高中数学第二章解三角形1.2余弦定理学案含解析北师大版必修5202103151222.doc

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1、高考1.2　余弦定理导思1.余弦定理的内容是什么?2.余弦定理可以解决哪些问题?1.余弦定理公式表达语言描述a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.【说明】对余弦定理的理解(1)适用X围:余弦定理对任意三角形都成立.(2)结构特征:“平方”“夹角”“余弦”.(3)揭示的规律:余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式,它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系.(4)主要功能:余弦定理的

2、主要功能是实现三角形中边角关系的互化.(1)余弦定理和勾股定理有什么关系?提示:余弦定理可以看作是勾股定理的推广,勾股定理可以看作是余弦定理的特例.(2)观察余弦定理的符号表示及推论,你认为余弦定理可用来解哪类三角形?提示:①已知两边及其夹角,解三角形;高考②已知三边,解三角形.2.余弦定理的变形cosA= __,cosB= __, cosC= __. 在△ABC中,若c2=a2+b2,则该三角形是什么三角形?提示:因为c2=a2+b2,所以a2+b2-c2=0,故cosC==0,所以C=90°,从而△ABC为直角三角形.1.辨析记

3、忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)余弦定理仅适用于锐角三角形或钝角三角形.(　　)(2)若已知两边和一边所对的角,不能用余弦定理解三角形.(　　)(3)在△ABC中,若sin2C>sin2A+sin2B,则△ABC为钝角三角形.(　　)(4)在△ABC中,若已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角的类型问题,则求解时都只有一个解.(　　)提示:(1)×.余弦定理对任意三角形都成立.(2)×.如已知a,b和A可利用公式a2=b2+c2-2bccosA求c,进而可求角B和C.(3)√.根据正弦定理可得c2>a2+b2,故a2+b

4、2-c2<0,所以cosC=<0,,故C为钝角,所以△ABC为钝角三角形.(4)√.根据余弦定理可知第三边唯一,从而三角形确定,另外两角确定,故该三角形唯一.高考2.某同学用三条长度分别为3,5,7的线段画出一个三角形,则他将(　　)A.画不出任何满足要求的三角形B.画出一个锐角三角形C.画出一个直角三角形D.画出一个钝角三角形【解析】选D.令长度较长的边所对的角为θ,则cosθ=<0,所以他将画出一个钝角三角形.3.(教材二次开发:例题改编)为测出小区的面积,进行了一些测量工作,所得数据如图所示,则小区的面积为(　　)A.km2B

5、.km2C.km2D.km2【解析】选D.如图,连接AC,AC==,则∠ACB=90°,∠BAC=30°,△ABC是直角三角形,所以S△ABC=.因为∠DAC=∠DCA=15°,∠ADC=150°,高考所以△ADC是等腰三角形,3=2×AD2-2AD2cos150°,AD2=6-3,S△ADC=AD2sin150°=.S四边形ABCD=+=(km2).关键能力·合作学习类型一余弦定理的应用(逻辑推理)1.在△ABC中,已知a2=b2+c2+bc,则A等于(　　)A.B.C.或D.2.在△ABC中,已知面积为S,且4S=a2+b2-c

6、2,则角C的度数为(　　)A.135°B.45°C.60°D.120°3.在△ABC中,a∶b∶c=2∶∶,求△ABC中最大角的度数.【解析】1.选D.因为a2=b2+c2+bc,所以b2+c2-a2=-bc.由余弦定理的推论得cosA===-,又00),由

7、b

8、根据边的大小确定角的大小,防止产生增解或漏解.②若已知三角形三边的比例关系,常根据比例的性质引入k,从而转化为已知三边解三角形.【补偿训练】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,则B=