2019_2020学年高中数学第二章解三角形2.1.2余弦定理学案含解析北师大版必修5.doc

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1、1.2　余弦定理内　容　标　准学　科　素　养1.掌握余弦定理，并会初步运用余弦定理解斜三角形.2.理解用向量法证明余弦定理的过程，逐步学会用向量法解决具体问题.3.通过发现和证明余弦定理的过程，培养观察、分析、归纳、猜想、抽象概括等逻辑思维能力.提升数学运算灵活公式变形严密逻辑推理授课提示：对应学生用书第38页[基础认识]知识点一　余弦定理预习教材P49－51，思考并完成以下问题在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.(1)如果C＝90°，如何求AB边的长？提示：利用勾股定理求AB的长，即c2＝a2＋b2.(2)设＝a，＝

2、b，＝c.怎样用向量的线性运算表示？提示：＝－＝a－b.(3)在问题2的前提下，如何用向量的数量积表示AB边的长？提示：

3、c

4、2＝c·c＝(a－b)·(a－b)＝

5、a

6、2－2a·b＋

7、b

8、2＝

9、a

10、2＋

11、b

12、2－2

13、a

14、

15、b

16、cosC，∴c2＝a2＋b2－2abcosC.(4)你能用同样的方法表示BC、AC的长吗？请你写出结论．提示：能．结论：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB.知识梳理　余弦定理文字语言三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.符号语言a2＝b

17、2＋c2－2bccos__A，b2＝a2＋c2－2accos__B，c2＝a2＋b2－2abcos__C.知识点二　余弦定理的推论思考并完成以下问题如果已知△ABC的三边长a，b，c，能否分别求出三个内角A、B、C的值？提示：能．用余弦定理变形可得公式．知识梳理　余弦定理的推论cosA＝，cosB＝，cosC＝．思考：1.勾股定理和余弦定理有什么联系和区别？提示：当三角形是直角三角形时，余弦定理和勾股定理是统一的，也就是说勾股定理是余弦定理的特殊情况，余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理指出了直角三角形中三边之间的平方关系，余弦定理则指

18、出了一般三角形中三边平方之间的关系．2．△ABC中，分别指出在下列条件下，角C是什么角(在直角、锐角、钝角中选择)．(1)a2＋b2＝c2.(2)a2＋b2＞c2.(3)a2＋b2＜c2.提示：(1)由勾股定理的逆定理，可知角C是直角．(2)由c2＝a2＋b2－2abcosC，得cosC＝＞0，所以可得，角C是锐角．(3)由(2)中的方法，同理可得，角C是钝角．[自我检测]1．三角形的两边AB、AC的长分别为5和3，它们的夹角的余弦值为－，则三角形的第三边长为(　　)A．52B．2C．16D．4解析：由条件可知cosA＝－，则BC2＝

19、AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝52＋32－2×5×3×＝52，∴BC＝2.答案：B2．(2019·郑州高一检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋c2－b2＝ac，则角B为(　　)A.B.C.或D.或解析：本题主要考查余弦定理．cosB＝＝＝，则B＝.故本题正确答案为A.答案：A3．(2019·郑州高一检测)在△ABC中，a＝2，b＝5，c＝6，则cosB＝________．解析：∵△ABC中，a＝2，b＝5，c＝6，∴由余弦定理，得cosB＝＝＝.答案：授课提示：对应学生用书第39页　　　　　　　　

20、　　　　　　　　　　探究一　已知两边及一角解三角形[阅读教材P50例4及解答]如图所示，有两条直线AB和CD相交成80°角，交点是O，甲、乙两人同时从点O分别沿OA、OC方向出发，速度分别是4km/h，4.5km/h，3小时后两人相距多远(结果精确到0.1km)?题型：已知两边及一角解三角形方法步骤：①计算△OPQ两边长，OP＝12，OQ＝13.5.②利用余弦定理求PQ的长．[例1]　(1)在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，求a；(2)在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，求角A、C和边a.[解题指南]　(1)已知

21、两边及其夹角，可直接利用余弦定理求出第三条边；(2)已知两边及一边的对角，可利用余弦定理求解，也可利用正弦定理求解．[解析]　(1)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝32＋(2)2－2×3×2cos30°＝3，所以a＝.(2)法一：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得32＝a2＋(3)2－2a×3×cos30°，即a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6.当a＝3时，A＝30°，C＝120°；当a＝6时，由正弦定理，得sinA＝＝＝1，∴A＝90°，∴C＝60°.法二：由b＜c，B＝30°，b＞csin30°＝

22、3×＝知本题有两解．由正弦定理，得sinC＝＝＝，∴C＝60°或120°.当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理，得a＝＝＝6；当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形，∴a＝3.方法技巧　已知三角形的两边及一