椭圆综合讲义——十种典例.docx

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1、高中数学探究群562298495全国高中高考资料联盟总群694430666椭圆综合讲义(十种典型)目录题型一给出一定条件求椭圆方程2题型二以椭圆方程为背景研究椭圆的简单性质8题型三与离心率有关的椭圆问题11题型四与直线与椭圆的位置关系有关的简单问题19题型五与椭圆有关的最值(范围)问题21题型六、面积问题27题型七、中点问题30题型八、定点问题35题型九：定值问题37题型十：探索性问题39题型一给出一定条件求椭圆方程高中数学探究群562298495全国高中高考资料联盟总群694430666【方法导引

2、】1.定义法：根据椭圆的定义，确出椭圆方程；2.待定系数法：特殊的，椭圆的一般方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，再用待定系数法求出m，n的值即可.3.代点法。1.已知△ABC的周长为20，且顶点B（0，﹣4），C（0，4），则顶点A的轨迹方程是（　　）A．（x≠0）B．（x≠0）C．（x≠0）D．（x≠0）【解答】∵△ABC的周长为20，顶点B（0，﹣4），C（0，4），∴BC＝8，AB+AC＝20﹣8＝12，∵12＞8∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，∵a＝

3、6，c＝4∴b2＝20，∴椭圆的方程是故选：B．2.椭圆以坐标轴为对称轴，经过点（3，0），且长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为（　　）A．B．C．或D．或高中数学探究群562298495全国高中高考资料联盟总群694430666【解答】根据题意，要求椭圆经过点（3，0），且长轴长是短轴长的2倍，分2种情况讨论：①，椭圆的焦点在x轴上，则a＝3，b＝，此时椭圆的方程为+＝1，②，椭圆的焦点在y轴上，则b＝3，则a＝6，此时椭圆的方程为+＝1；故椭圆的方程为+＝1或+＝1；故选：C．3.如图，已

4、知椭圆C的中心为原点O，为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足

5、OP

6、＝

7、OF

8、且

9、PF

10、＝4，则椭圆C的标准方程为　　．【解答】由题可知，c＝，过点P作PM垂直x轴于M，设

11、OM

12、＝t，则

13、FM

14、＝﹣t，由勾股定理知，

15、PM

16、2＝

17、OP

18、2﹣

19、OM

20、2＝

21、PF

22、2﹣

23、FM

24、2，即，解得，∴，∴点P的坐标为（﹣，），设椭圆的方程为（a＞b＞0），则，化简得高中数学探究群562298495全国高中高考资料联盟总群694430666，又a2＝b2+c2＝b2+20，∴a2＝36，b2＝16，∴椭圆的标

25、准方程为．故答案为：．4.经过两点A（0，2）、B（，）的椭圆的标准方程为　　．【解答】由题意，设椭圆的方程为+＝1，则，解得．∴椭圆的标准方程为x2+＝1．故答案为：x2+＝1．5.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点．若，，则C的方程为（）A．B．C．D．【答案】B高中数学探究群562298495全国高中高考资料联盟总群694430666【解析】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．所求椭圆方程为

26、，故选B．法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B．高中数学探究群562298495全国高中高考资料联盟总群694430666【素养提升】1.过点（，﹣），且与椭圆+＝1有相同的焦点的椭圆的标准方程　　．解：椭圆+＝1的焦点为（0，±4），则所求椭圆的c＝4，可设椭圆方程为＝1（a＞b＞0），则有a2﹣b2＝16，①再代入点（，﹣），得，＝1，②由①②解得，a2＝20，b2＝4．则所求椭圆方程为＝1．故答案为：＝1．2.已知椭圆

27、C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若

28、AF2

29、＝3

30、BF2

31、，

32、BF1

33、＝5

34、BF2

35、，则椭圆C的方程为（　　）A．B．C．D．解：∵

36、BF1

37、＝5

38、BF2

39、，且

40、BF1

41、+

42、BF2

43、＝2a，∴

44、BF2

45、＝，

46、BF1

47、＝，∵

48、AF2

49、＝3

50、BF2

51、，∴

52、AF2

53、＝a，∵

54、AF1

55、+

56、AF2

57、＝2a，∴

58、AF1

59、＝a，∴

60、AF1

61、＝

62、AF2

63、，则A在y轴上．在Rt△AF2O中，cos∠AF2O＝，在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1＝＝，高中数学

64、探究群562298495全国高中高考资料联盟总群694430666根据cos∠AF2O+cos∠BF2F1＝0，可得，解得a2＝2，∴b2＝a2﹣c2＝1．∴椭圆C的方程为：．故选：A．3.若直线x﹣2y+2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为（　　）A．+y2＝1B．+＝1C．+y2＝1或+＝1D．以上答案都不对【解答】设焦点在x轴上，椭圆的标准方程为∴焦点坐标为（﹣c，0），（c，0），顶点坐标为（0，b），（0，﹣b）；椭圆的a，b，c关系：；