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1、3.5两角和、差的正弦、余弦和正切公式公式名公式两角和与差的正弦两角和与差的余弦两角和与差的正切1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式2.二倍角的正弦、余弦、正切公式公式名公式二倍角的正弦二倍角的余弦二倍角的正切【即时应用】(1)思考：二倍角公式tan2α=中对任意的α都成立吗？提示：不一定,当α≠kπ+2α≠kπ+(k∈Z)时，公式成立.(2)sin15°cos15°的值等于________.【解析】sin15°cos15°=×2sin15°cos15°=sin30°=答案：(3)若tanα=则tan2α=________.【解析】答案：热点考向1三角函数的化简【方法点睛】三角函数化简的技巧
2、、方法和要求(1)寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；(2)正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；(3)一些常规技巧：“1”的代换、正切化弦、和积互化、异角化同角等．(4)三角函数的化简常用方法是：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．(5)化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数.【提醒】公式的逆用、变形用十分重要，特别是1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α,形式相似，容易出错，应用时要加强
3、“目标意识”.【例1】化简下列各式：【解题指南】(1)若注意到化简式是开平方根和2α是α的二倍，α是的二倍，以及其范围不难找到解题的突破口；(2)由于分子是一个平方差，分母可通过二倍角公式化简，若注意到这两大特征，不难得到解题的切入点.【规范解答】(1)因为＜α＜2π,所以=
4、cosα
5、=cosα,又因为所以所以，原式=答案：(1)(2)1【互动探究】把本例中的(2)改为【解析】原式=答案：【反思·感悟】1.在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于2α是α的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，同时还要注意2α,+α,-α三个角的内在联系，cos2α=sin(±2α)=2sin(±α)·
6、cos(±α)是常用的三角变换.2.化简题一定要找准解题的突破口或切入点，其中的降次、消元、切化弦、异名化同名、异角化同角是常用的化简技巧.3.常用的公式变形：【变式备选】不查表求sin220°+cos280°+sin20°·cos80°的值.【解析】sin220°+cos280°+sin20°cos80°=(1－cos40°)+(1+cos160°)+sin20°cos80°=1－cos40°+cos160°+sin20°cos(60°+20°)=1－cos40°+(cos120°cos40°－sin120°sin40°)+sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)
7、热点考向2三角函数的求值【方法点睛】三角函数的求值主要有两种类型，即给角求值，给值求值.(1)给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相消，从而化为特殊角的三角函数.(2)给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用，同时也要注意变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.【例2】若的值.【解题指南】本题可以利用的变换，同时要注意x的范围和符号，求出sinx和cosx代入原式求解；也可以化简原式后得到二倍角与和角的三角函数，利用的变换，再利用两角差的余弦和二倍角公式求解.【规范解答】方法一：由
8、【反思·感悟】1.此题若将的左边展开成再求cosx,sinx的值就很繁琐，把作为整体，并注意角的变换这样就可运用二倍角公式.化难为易，化繁为简是三角恒等变换的关键.2.解答有条件限制的求值问题时，要善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，一般方法是拼角与拆角.【变式训练】(2012·山东高考)若θ∈［］,sin2θ=则sinθ=()【解析】选D.由于θ∈［］，则2θ∈［,π］，所以cos2θ<0,sinθ>0.因为sin2θ=所以又cos2θ=1-2sin2θ，所以【变式备选】已知求sin(α+β)的值.【解析】∵又∵∴sin(α+β)=-sin［π+(α+β)］热点考向3三角函数的
9、给值求角【方法点睛】1.三角函数的给值求角问题的一般思路(1)求出该角的某一三角函数值；(2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出角.2.三角函数给值求角时应注意的问题求角的某一三角函数值时,尽量选择在该角所在范围内是单调的函数，这样,由三角函数值才可以唯一确定角.(1)若角的范围是(0,),选正、余弦皆可;(2)若角的范围是(0,π),选余弦较好;(3)若角的范围为则选正弦.【例3】已知cosα=(1)求t
