两角和与差的正弦余弦和正切公式ppt课件.ppt

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1、第一讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式重点难点重点：掌握两角和、两角差、二倍角公式，并运用这些公式化简三角函数式，求某些角的三角函数值，证明三角恒等式等．难点：了解各公式间的内在联系，熟练地掌握这些公式的正用、逆用以及某些公式变形后的应用．知识归纳1．在两角和与差的公式中，以公式C(α＋β)为最基本，其推导过程应熟练掌握．如右图，点P1，P2，P3，P4的坐标分别为P1(1,0)，P2(cosα，sinα)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P4(cos(－β)，sin(－β))，由P1P3＝P2P4及两点

2、间距离公式得[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]2，整理得cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，本公式中α，β对任意角都成立．也可以先用此法导出C(α－β)．2．公式之间的关系及导出过程3．和、差、倍角公式(1)Cα±β：cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ.(2)Sα±β：sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.(3)Tα±β：tan(α±β)＝.(4)S2α：sin2α＝2sinαcosα.(5)

3、C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(6)T2α：tan2α＝.只有③和⑥对角α，β须附加限制条件，使其有意义．如⑥中须α≠kπ＋且α≠＋.(k∈Z)．由于cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.解题时应根据不同的函数名称的需要，选取不同的形式．公式的双向应用分别起缩角升幂(1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α)和扩角降幂(sin2α＝，cos2α＝)的作用．误区警示1．本节公式较多，要把握好公式的结构特征，熟悉公式的来

4、龙去脉，这样才能准确地应用公式．特别是公式中的“＋”，“－”号要熟记，二倍角的余弦也是易记混的地方，还要注意公式的逆用、变形运用．2．三角变换常见的有变角、变名、变幂、变结构(如和积互变)等．应特别注意变换的等价性，解题过程中要善于观察差异，寻找联系，实现转化．一、公式的逆用与变形运用二、解题技巧在三角函数的化简、求值与证明中，常常对条件和结论进行恰当变换，以满足应用公式的条件．常见的有：名称变换(如应用±α正余互变，切割化弦，应用平方关系sin2α＋cos2α＝1正弦、余弦互变、弦化切等等)；幂的变换(升幂缩角1＋

5、cos2α＝2cos2α；1－cos2α＝2sin2α，降幂扩角等)；1的代换(1＝sin2α＋cos2α＝tanα·cotα＝sinα·cscα＝cosα·secα＝tan45°等)．结构变换(如，形如asinα＋bcosβ的式子都可以通过合理的变形化为只含一个角的三角函数形式sin(γ＋φ)，其中α、β都是γ的表达式，φ为常数)．[例1]计算(tan10°－)·sin40°.三、已知三角函数值求角的步骤已知角α的一个三角函数值求角α，应注意所得的解不是惟一的，而是有无数多个，其解法步骤是：(1)确定角α所在的象限

6、；(2)求对应的锐角α1.如函数值为正，求出对应的锐角α1；如函数值为负，求出其绝对值对应的锐角α1；(3)求出满足条件的角．首先根据角α所在的象限，得出0～2π间的角．如果适合已知条件的角在第二象限，则它是π－α1；如果在第三或第四象限，则它是π＋α1，或2π－α1.然后利用终边相同的角的表达式写出适合条件的所有角的集合．[例1]　tan15°＋cot15°等于(　　)A．2　　　B．2＋　　C．4　　　D.分析：可切割化弦利用倍角公式求解也可将15°转换成45°－30°或者15°＝求解．答案：B[例2]　求值：(

7、1＋tan1°)(1＋tan2°)…(1＋tan44°)(1＋tan45°)．分析：首先观察角1°、2°、3°、…、44°可得1°＋44°＝2°＋43°＝…＝22°＋23°＝45°，因此只需研究(1＋tanα)(1＋tan(45°－α))即可．解析：∵(1＋tanα)·(1＋tan(45°－α))＝1＋tanα＋tan(45°－α)＋tanα·tan(45°－α)＝1＋tan45°·[1－tanα·tan(45°－α)]＋tanα·tan(45°－α)＝2，∴原式＝(1＋tan1°)(1＋tan2°)…(1＋tan4

8、4°)(1＋tan45°)＝222·2＝223.点评：通过观察、分析、抓住角之间的变化规律，灵活运用公式才能顺利实施解答．化简：tan(18°－x)tan(12°＋x)＋[tan(18°－x)＋tan(12°＋x)]＝________.分析：对本题进行观察，发现它有两个特征：一个特征是该三角式的前半段是两个角正切函数的积，而后半段是这两个角正切