第3节-差商及Newton插值多项式.ppt

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1、§3差商及Newton插值多项式一、差商及其性质Lagrange插值多项式的优点是格式整齐规范，但其缺点是：当需要增加节点时，其基函数都要发生变化，需要重新计算，这在实际计算中会影响效率。下面介绍的Newton插值法会弥补这一不足。1.差商的定义设y=f(x)在n+1个互异点x0,x1,…,xn处的函数值为：则称为f(x)关于点xi,xj的一阶差商。称为f(x)关于点xi,xj,xk的二阶差商。一般地，称k-1阶差商的一阶差商为f(x)关于点的k阶差商。例如，已知f(x)在的函数值为：可以求得2.差商的性质性质1：k阶差商是由函数值的线性组合而成，即其中以k=2进行证明。

2、由得到由得到从而由性质1立刻可得。性质2:差商具有对称性,即k阶差商f[x0,x1,…,xk-1,xk]中，任意调换xi,xj的次序，其值不变。再由数学归纳法可证得：性质3：若f(x)为n次多项式，则f[x,x0]为关于x的n-1次多项式。证明：已知故类似的可以得到：也就是说，对多项式求一次差商，次数降低一次。由于　是　　　　　　　　的根，所以3.差商的计算为构造Newton插值多项式方便起见，计算差商时，采用列表的方式进行。例2.2已知函数y=f(x)的如下离散数据(1,0)、(2,2)、(4,12)、(5,20)、(6,70)，试求其各阶差商.解：列差商表计算xy一阶

3、差商二阶差商三阶差商四阶差商1022412520670258501121051二、Newton插值多项式对于区间[a,b]内的离散点及相应的函数值，计算如下差商：可以求得：依次类推得到：令：则可以将函数f(x)表示成：由如上构造，容易验证因此Nn(x)满足插值条件，是一个n次插值多项式。并称为n次Newton插值多项式。如果f(x)≈Nn(x),则误差为：☆关于Newton插值多项式，有以下几个特点：1Newton插值多项式与同次Lagrange插值多项式相同，因而误差相同因为Newton插值多项式与Lagrange插值多项式满足相同的插值条件，由插值多项式的存在唯一性知

4、因此，Newton插值多项式与Lagrange插值多项式的误差相同。这样，由Nn(x)=Ln(x)得到这个表达式给出了n+1阶差商与n+1阶导数之间的关系式。例3已知，试求其如下差商解：由差商与导数的关系式得到练习：提示：2.Newton插值多项式具有递推式由可知所以，具有递推公式：所以，具有递推公式：由此可知：当求出n次插值多项式后，再增加一个节点时，只需要增加一项的计算即可。由Newton插值多项式的结构可以看出，在构造Newton插值多项式时，必须首先计算各阶差商。3.Newton插值多项式的计算例4已知f(x)的五组数据(1,0)、(2,2)、(3,12)、(4,

5、42)、(5,116),求N4(x)。如果再增加一个节点(6,282),求出N5(x)，并计算N4(1.5)、N5(1.5).解：先由前五组数据列差商表10223124425116210307441022240.5得到：如果，再增加一点(6,282),就在上表中增加一行计算差商。628216646810.1由Newton公式的递推式得到：得到：练习题：已知离散数据(1,0)、(2,2)、(4，12）、(5,20)求三次Newton插值多项式，增加一点(6,70)后，再求出四次Newton插值多项式。本节(§3)要点1.掌握差商及其性质，导数与差商的关系2.掌握Newton

6、插值多项式的构造方法及具体结构3.掌握Newton插值多项式的误差结果4.编写Newton插值多项式计算程序进行实际计算思考题：如何实现差商表和Newton插值多项式的程序设计。作业：2-4；2-5；2-7关于离散数据：构造了lagrange插值多项式：Newton插值多项式：根据问题需要，有时还需要构造分段插值多项式，下面加以介绍