5.5差分与等距节点newton插值

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1、第四节差分与等距节点newton插值5.5.1、差分及其性质5.5.2、等距节点插值公式5.5.3、例题分析9/16/20211在实际应用Newton插值多项式时，经常遇到插值节点是等距的情况，此时可以简化Newton插值公式。个插值节点：已知其中为步长于是在差商中，分母部分将变得简单，计算量主要集中在分子（两节点处函数值的差）。分析差商的形式，引入差分概念当插值节点x0,x1,…,xn分布等距时，也即h=xk+1-xk,k=0,1,2,…,n-1一、差分及其性质9/16/20212定义5.5.1.一阶中心差分9/16/20213依此类推9/16/20214向前差分

2、算子，差分9/16/20215引入下列常用算子符号：并称I为恒等算子，E为移位算子，各算子之间如下关系故同理9/16/20216差分的性质性质5.5常数的差分等于零性质5.6函数值可以表示各阶差分9/16/202179/16/20218性质5.79/16/20219性质5.89/16/202110差分与导数的关系：9/16/2021119/16/202112差分表9/16/2021135.5.2、Newton插值公式由差商与向前差分的关系Newton插值基本公式为如果假设1.Newton向前(差分)插值公式计算x0点附近的值9/16/202114则插值公式化为9/16/2

3、02115此公式为牛顿向前插值公式，其余项为9/16/202116类似有牛顿向后插值公式等距节点插值公式9/16/202117等距节点插值公式:牛顿向前插值公式、牛顿向后插值公式。9/16/202118例1分别作出f(x)=x2+x+1的前差和后差表。解:前差表见表4―7;后差表见表4―8表4―7三、例题分析9/16/202119表4―89/16/202120例2给出正弦函数sinx由x=0.4到0.7的值(h=0.1),试分别用牛顿前差和后差公式计算sin0.57891的近似值。解：作差分表4―9。表4―９9/16/202121利用牛顿前差公式9/16/202122利用

4、牛顿后差公式9/16/202123为使用牛顿插值公式，先构造差分表.例3给出在处的函数值，试用4次等距节点插值公式计算及的近似值并估计误差.解根据题意，插值条件为由于接近，所以应用牛顿向前插值公式计算的近似值.9/16/202124(注意：表中带下划线的数据为点的各阶向前差分，双下划线为点的各阶向后差分.)9/16/202125取则用表2-4上半部的各阶向前差分，得9/16/202126由余项公式（4.11）得误差估计其中（4.11）9/16/202127于是计算应使用牛顿向后插值公式，用差分表2-4中下半部的各阶向后差分，得这里9/16/202128其中由余项公式（4.

5、13）得误差估计（4.13）9/16/202129