newton插值均差与差分

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1、第五章函数近似计算(插值问题)的插值方法5.3Newton插值/均值与差分lagrange插值多项式作为一种计算方案，公式简洁，做理论分析也方便。其缺点是，当节点改变时，公式需要重建，计算量大；如果还要根据精度要求，选取合适的节点和插值多项式的次数，则只好逐次计算出,等，并做误差试算，才可以做到，这当然是不理想的。为次，人们从改进插值多项式的形式入手，给出另一种风格的插值公式，这就是Newton(牛顿)插值公式。Newton插值公式通过均差和差分的记号来表达。1．均差的概念及其性质定义5.3.1设函数在互异节点上的值为,,等，定义(1)在上的1阶均差为(2)在上的2阶均

2、差为（3）递推地，在上的阶均差为同时规定在上的零阶均差为性质1阶均差可以表示成个函数值的线性组合，即(5.3.5)或记为（5.3.5b）证明：用数学归纳法。当时由均差定义有故(5.3.5)式成立。现假设时(5.3.5)已成立，对由均差定义及归纳假设有可知(5.3.5)成立。性质2均差对其节点是对称的，即节点按任意顺序排列，其值不变。如这个性质称为对称性。性质3如果是的次多项式，则其1阶均差是的次多项式，且由此递推可得阶均差为零阶均差，阶均差为零。证明：按均差定义，的1阶均差为由假设，上式等号右端分子为的次多项式，且当时为零，可知分子会有因子,它与分母同时约去，则得等号右

3、端为次多项式。零阶均差1阶均差2阶均差3阶均差2．Newton插值公式及其余项由均差的定义可知对上述第二式两端乘以，第三式两端乘以,最后一式两端乘以，然后由后一式的左端代入前一式的右端(第二项)，即可得(5.3.7)显然，是次多项式，又有，故有，从而满足条件，这就说明是关于的次插值多项式，通常称它为Newton插值公式，为插值余项。根据插值多项式的惟一性，可知Newton插值与Lagrange插值之间有于是就有从而可得均差与导数之间存在关系现在如果再增加节点，即相当于增加插值条件这时，只要在中增加一项即可满足条件，从而可得新的Newton插值公式Newton插值余项称为

4、均差型余项，Lagrange插值余项称为微分型余项。3．差分的概念及其性质定义5.3.2设函数在等距节点处的值，在处的值记为,定义(1)在的1阶向前差分(2)在的1阶向后差分(3)在的1阶中心差分由此递推得定义在的阶向前差分阶向后差分阶中心差分以及规定零阶差分上述定义中的符号，实际上起着算子的作用。此外，进一步还使用另外两个差分算子符号：(1)位移算子(2)单位(或称不变)算子于是由，可得性质1差分与函数值可互相表示。例如(5.3.12)(5.3.13)（5.3.14）其中性质2差分与均差可互相表示。性质3差分与导数值也可互相表示。例如设，则有3．等距离节点的Newto

5、n插值公式(1)Newton前插公式设节点，要计算附近点的函数值,可令，于是并注意到，代入(5.3.6)得它称为Newton前插公式，其余项公式为(2)Newton后插公式如果要求的是在附近的值，把插值节点按次序排列，再取变换，即得Newton后插公式余项为