均差与牛顿插值公式ppt课件.ppt

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1、2.3均差与牛顿插值公式2.3.1均差及其性质利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，整个公式也将发生变化.1其中为待定系数，确定.为了克服这一缺点，可把插值多项式表示为如下便于计算的形式:可由个插值条件下面我们来确定这些系数的值.2当时，当时，依此递推可得到.当时，推得推得由，由为了得到系数ak的一般表达式，我们引入了均差定义。3称为函数关于点的一阶均差.称为的二阶均差.定义显然，二阶均差为一阶均差的均差。4一般地，称为的阶均差（均差也称为差商）.5均差的基本性质：

2、1°均差与节点的排列次序无关，称为均差的对称性.即62°证明：均差的表达到底有没有规律?73°若在上存在阶导数，且节点则阶均差与导数关系如下：8作辅助函数显然共n+1个零点。由Roll定理有有n个零点，有n－1个零点，有一个零点。，则有令该零点为证明：9因为上式对任意成立，取得到10均差的计算:均差表11例：设f(x)＝x7+5x3+1，求均差f[20,21]，f[20,21,22]，f[20,21,…,27]，f[20,21,…,28].解：f(20)=7,f(21)=169,f(22)=16705122.3.2牛顿插值公式根据均差定义，把看成上一点

3、，可得13只要把后一式代入前一式，就得到其中返回到牛顿前插公式1是我们希望的形式2过n+1个点3次数不超过n次14显然，由上面式子确定的多项式满足插值条件，且次数不超过，称为牛顿（Newton）均差插值多项式.系数就是均差前面表中加横线的各阶均差，它比拉格朗日插值计算量省，且便于程序设计.其系数为15但这里的余项更有一般性，它在是由离散点给出的情形或导数不存在时也是适用的.为插值余项.思考:由相同的N+1个节点得到的Ln(x)和Nn(x)是不是相同的?16实际上由插值多项式的唯一性知因此，它们对应的余项也是相等的，即取得到均差的基本性质3的另一种证明方

4、法:17插值节点的选择：已知f(x)的m个点的值，如果要求不高于n（

5、重节点的牛顿插值多项式（补充）定义：作插值多项式时，若还知道节点的导数值，该节点被称为重节点，若还知道它的k阶导数值则称为K+1重节点，之所以称为重节点是因为该节点要连续占几个编号，K+1重节点占K+1个编号。牛顿插值多项式优点之一就是可以带重节点。带重节点的牛顿插值多项式的生成表和不带重节点的类似，不同之处在例子中具体说明。22定义（重节点均差）:类似的有（1）（2）重节点均差是通过均差极限定义的，如23例已知并计算的值。求f(x)的一不高于4次的牛顿插值多项式,解本例中和都是2重节点，其编号分别为1、2和3、4.作带重节点的牛顿均差表（数字为红色者

6、是已知导数值，用它们直接代替一阶均差值）。ixiyi一阶二阶三阶四阶00111221232242212031-23-1.553.2524由差商表计算结果知:25例已知求f(x)的一不高于4次的牛顿插值多项式.解本例中x=0是4重节点，其编号分别为0、1、2和3.作带重节点的牛顿差商表。ixiyi一阶二阶三阶四阶0011011/1!=12011/1!=12/2!=13011/1!=12/2!=13/3!=0.5413210-0.526由差商表计算结果知:27插值余项更有一般性，它函数是由离散点给出的情形或函数（高阶）导数不存在时也是适用的.虽然不对称，但

7、有递进性，当增加插值节点时，只要在原来插值多项式的基础上增加一项即可.牛顿均差插值多项式的优点：运算量比拉格朗日小虽然不对称，但公式结构清晰，便于程序设计可以带重节点思考:能否避免龙格现象?28