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1、求递推数列通项的特征根法高二文科段杜幼兰2008年全国共37套高考数学试题（包括文、理试题），有25套（10套文科试题、15套理科试题）在数列的解答题考查了“递推数列”，本文对求递推数列通项的一个重要方法——特征根法作一小结如下。一、形如an1cand（c,d是常数）的数列形如a1m，an1cand（c,d是常数）的一阶递推数列都可用特征根法求得通项an，其特征方程为xcxd，若c＝1，则数列为等差数列，其通项公式易得。若c≠1，由特征方程xcxd，得xdc1则an1xc(anx)，∴an(mx)cn1x二、形如
2、an2pan1qan(p,q是常数）的数列形如a1m1,a2m2,an2pan1qan(p,q是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项an，其特征方程为x2pxq⋯①若①有二异根,，则可令anc1nc2n(c1,c2是待定常数）若①有二重根，则可令an(c1nc2)n(c1,c2是待定常数）再利用a1m1,a2m2,可求得c1,c2，进而求得an例1已知数列{an}满足a12,a23,an23an12an(nN*)，求数列{an}的通项an解：其特征方程为x23x2，解得x11,x22，令annn，c11c2
3、2由a1c11c12c22，得1，an12n1a2c14c23c22例2已知数列{an}满足a11,a22,4an24an1an(nN*)，求数列{an}的通项an1，令an1n解：其特征方程为4x24x1，解得x1x2c1nc2，22a1(c1c2)11c1423n2由1，得，ana2(c12c2)2c262n14三、形如an1AanB的数列CanD对于数列an1AanB，a1m,nN*(A,B,C,D是常数且C0,ADBC0）CanD其特征方程为xAxB，变形为Cx2(DA)xB0⋯②CxD若②有二异根,，则
4、可令an1can（其中c是待定常数），代入a1,a2的an1an值可求得c值。这样数列an是首项为a1，公比为c的等比数列，于是这样可求得anana1若②有二重根，则可令11（其中c是待定常数），代入a1,a2ancan1的值可求得c值。这样数列1是首项为1，公差为c的等差数列，于是这样可求得ananan例3已知数列{an}满足a12,anan12(n2)，求数列{an}的通项an2an11解：其特征方程为xx2，化简得2x220，解得x11,x21，令an11can12x1an11an1由a12,得a24，可得
5、c1，53an1a1111an11n1是以为首项，以1，数列a1133为公比的等比数列，3an1an13an3n(1)n3n(1)n例4已知数列{an}满足a12,an12an1(nN*)，求数列{an}的通项an4an6解：其特征方程为x2x1，即4x24x10，解得x1x21，令11c4x621an1an123，求得c2由a12,得a21，14数列1是以12为首项，以1为公差的等差数列，an1a11522112(n1)1n3，an552an135n10n6
