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1、第六章布莱克-舒尔斯期权定价模型Copyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity第一节 证券价格的变化过程一、弱式效率市场假说与马尔可夫过程1965年，法玛（Fama）提出了著名的效率市场假说。该假说认为，投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬；证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能完全反应全部信息；市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平，而与新信息相应的价格变动是相互独立的。Copyright©Zhen
2、longZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity效率市场假说可分为三类：弱式、半强式和强式。弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程（MarkovStochasticProcess）来表述。随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程。可分为离散型的和连续型的。马尔可夫过程是一种特殊类型的随机过程。如果证券价格遵循马尔可夫过程，则其未来价格的概率分布只取决于该证券现在的价格。Copyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFi
3、nance,XiamenUniversity二、布朗运动（一）标准布朗运动设代表一个小的时间间隔长度，代表变量z在时间内的变化，遵循标准布朗运动的具有两种特征：特征1：和的关系满足（6.1）：（6.1）其中，代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1.0的正态分布）中取的一个随机值。这是一个按正态规律集中在起始点的一个随机运动。Copyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity标准布朗运动(2)特征2：对于任何两个不同时间间隔，和的值相互独
4、立。考察变量z在一段较长时间T中的变化情形，我们可得：（6.2）当0时，我们就可以得到极限的标准布朗运动：（6.3）Copyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity（二）普通布朗运动我们先引入两个概念：漂移率和方差率。标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1.0。我们令漂移率的期望值为a,方差率的期望值为b2，就可得到变量x的普通布朗运动：b是标准差（6.4）其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。普通的布朗运动随时间间隔的增加，需要加
5、上一个漂移项，表示离开起始位置的程度（常数比率），而其运动是正态规律运动。总体是一个叠加运动。Copyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity三、伊藤过程普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数，我们可以从公式（6.4）得到伊藤过程（ItoProcess）：(6.5）其中，dz是一个标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2。漂移非常数，正态规律项非常数，都是与
6、时间和其目前位置有关，更加复杂的随机过程Copyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity四、证券价格的变化过程证券价格的变化过程可以用漂移率为μS、方差率为的伊藤过程来表示：两边同除以S得：（6.6）表示未来时间间隔后的证券价格增量变化是符合漂移和方差率只和目前价格有关系（线性关系）的伊藤随机过程（即普通布朗运动的升级版）。表示未来价格变化率符合普通布朗运动，（描述运动偏离标注布朗运动的漂移率和方差率项已变为常数而非与时间和目前值有关系的
7、函数）Copyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity从（6.6）可知，在短时间后，证券价格比率的变化值为：可见，也具有正态分布特征(6.7)前三个是常数或者函数值，最后一个是个标准正态随机变量，整个式子是某种正态随机变量。只不过这里符合的正态分布的均值和方差是与时间间隔由关系的值而已。Copyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity例6.1设一种不付红利股票
8、遵循几何布朗运动，其波动率为每年18%，预期收益率以连续复利计为每年20%，其目前的市价为100元，求一周后该股票价格变化值的概率分布。Copyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity五、伊藤引理若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如下过程：（6.8）由
