第四讲 BS期权定价模型.docx

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1、第四讲BS期权定价模型统计与管理学院第四讲BS期权定价模型Ø第一节BS期权定价模型的基本思路Ø第二节BS期权定价公式Ø第三节BS期权定价公式的精确度评价与拓展第一节BS期权定价模型的基本思路Ø股票价格服从的随机过程dS=mSdt+sSdWØ由Itô引理可得期权价格相应服从的随机过程æ¶f¶f2f22ö¶fç1¶÷mS++sS÷sSdW2df=ç÷dt+ç¶S¶t2¶S÷¶Sèø第一节BS期权定价模型的基本思路ØBS微分方程¶f¶f122¶2f+rS+sS=rf¶t¶S2¶S2ØBS期权定价公式c=SN(d1)-Xe-r(T-t)N(d2)第二节BS期权定价

2、公式Ø一、模型基本假设Ø二、BS方程的推导Ø三、风险中性定价原理Ø四、BS期权定价公式的推导Ø五、BS期权定价公式的参数估计一、假设Ø证券价格遵循几何布朗运动，即µ和σ为常数Ø允许卖空标的证券Ø没有交易费用和税收，所有证券都完全可分Ø衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付Ø不存在无风险套利机会Ø证券交易是连续的，价格变动也是连续的Ø衍生证券有效期内，无风险利率r为常数二、BS微分方程的推导Ø由于假设股票价格S遵循几何布朗运动，因此dS=mSdt+sSdWØ在一个小的时间间隔∆t中，S的变化值∆S为DS=mSDt+sSDW二、BS微分方程的推导Ø设f是依赖

3、于S的衍生证券的价格，则f一定是S和t的函数，根据伊藤引理可得：æ¶f¶f2f22ö¶fç1¶÷mS++sS÷sSdW2df=ç÷dt+ç¶S¶t2¶S÷¶SèøØ在一个小的时间间隔∆t中，f的变化值∆f满足：æ¶f¶f2f22ö¶fç1¶÷÷mS++2sSDf=ç÷Dt+sSDWç¶S¶t2¶S÷¶Sèø二、BS微分方程的推导Ø为了消除风险源∆W，可以构建一个包括一单位衍生证券空头和¶¶Sf单位标的证券多头的组合。Ø令Π代表该投资组合的价值，则：P=-f+¶¶SfSØ在∆t时间后，该投资组合的价值变化∆Π为DP=-Df+¶¶SfDS二、BS微分方程的推导

4、Ø代入∆f和∆S可得æ¶f12f22öç¶÷sS÷2DP=ç--÷Dtç¶t2¶S÷èøØ由于消除了风险，组合Π必须获得无风险收益，即DP=rPDt二、BS微分分程的推导Ø因此æ¶f2f22öæ¶föç1¶÷ç÷sS÷÷ç+2f-÷Dt=rçS÷Dtç¶t2¶S÷ç¶S÷èøèø化简可得：¶f¶f122¶2f+rS+sS=rf¶t¶S2¶S2Ø这就是著名的BS微分分程，它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价。三、风险中性定价原理Ø观察BS微分方程可以发现，受制于主观的风险收益偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决定公式中。这意味

5、着，无论风险收益偏好状态如何，都不会对f的值产生影响。Ø因此我们可以作出一个可以大大简化我们工作的假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。三、风险中性定价原理Ø在所有投资者都是风险中性的条件下（有时我们称之为进入了一个“风险中性世界”）：–所有可交易资产的百分比预期收益率都等于无风险利率r，因为风险中性的投资者并不需要额外的收益来吸引他们承担风险。–同样，在风险中性条件下，所有现金流在求现值都应该使用无风险利率进行贴现。Ø这就是风险中性定价原理。风险中性世界中可交易资产的随机过程Ø如果某种可交易资产的价格在现实世界中的随机过程为：Ø则在风险中性

6、世界中其遵循：Ø根据伊藤引理，其远期合约的价值在风险中性世界中遵循理解风险中性定价Ø假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于3个月后股票的市价。若3个月后该股票价格等于11元，则该期权价值为0.5元；若3个月后该股票价格等于9元，则该期权价值为0。理解风险中性定价Ø为了找出该期权的价值，我们可构建一个由1单位看涨期权空头和∆单位的标的股票多头组成的组合。Ø若3个月后股票价格等于11元，该组

7、合价值等于(11∆−0.5)元；若3个月后该股票价格等于9元，该组合价值等于9∆元。Ø由于，11∆−0.5=9∆∆=0.25Ø因此，一个无风险组合应包括1份看涨期权空头和0.25股标的股票。无论3个月后股票价格等于11元还是9元，该组合价值都将等于2.25元。理解风险中性定价Ø假设现在的无风险年利率为10%，则该组合现值为2.25e-0.1´0.25=2.19Ø因此10´0.25-f=2.19f=0.31元Ø这就是说，该看涨期权的价值应为0.31元，否则就会存在无风险套利机会。理解风险中性定价Ø可以看出，在确定期权价值时，我们并不需要知道股票价格在真实世界

8、中上涨到11元的概率和下降到9元的概率。也就是说，我们并不需要了解