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1、数列1、数列中an与Sn之间的关系：anS1,(n1)SnSn1,(n注意通项能否合并。2).2、等差数列：⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即an－an1=d，（n≥2，n∈N），那么这个数列就叫做等差数列。⑵等差中项：若三数a、A、b成等差数列abA2⑶通项公式：ana1(n1)dam(nm)d或anpnq(p、q是常数）.⑷前n项和公式：Snna1nn1na1an2d2⑸常用性质：①若mnpqm,n,p,qN，则amanapaq；②下标为等差数列的项ak,akm,ak2m,
2、，仍组成等差数列；③数列anb（,b为常数）仍为等差数列；④若{an}、{bn}是等差数列，则{kan}、{kanpbn}(k、p是非零常数)、{apnq}(p,qN*)、，⋯也成等差数列。⑤单调性：an的公差为d，则：ⅰ）d0an为递增数列；ⅱ）d0an为递减数列；ⅲ）d0an为常数列；⑥数列{an}为等差数列anpnq（p,q是常数）⑦若等差数列an的前n项和S，则S、S2kSk、S3kS2k⋯是等差数列。nk3、等比数列⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等
3、比数列。⑵等比中项：若三数a、G、b成等比数列G2ab,（ab同号）。反之不一定成立。⑶通项公式：ana1qn1amqnm⑷前n项和公式：Sna11qna1anq1q1q⑸常用性质①若mnpqm,n,p,qN，则amanapaq；②,,,为等比数列，公比为qk下标成等差数列则对应的项成等比数列akakmak2m(),③数列an（为不等于零的常数）仍是公比为q的等比数列；正项等比数列an；则lgan是公差为lgq的等差数列；④若an是等比数列，则can，an2，1，ananr(rZ)是等比数列，公比依次是q，q21r
4、.，，qq⑤单调性：a10,q1或a10,0q1an为递增数列；a10,0q1或a10,q1an为递减数列；q1an为常数列；q0an为摆动数列；⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。⑦若等比数列an的前n项和Sn，则Sk、S2kSk、S3kS2k⋯是等比数列.4、非等差、等比数列通项公式的求法类型Ⅰ观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。类型Ⅱ公式法：若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列an的通项an可用公式anS1,(n1)构造
5、两式作差求解。SnSn1,(n2)用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即a1和an合为一个表达，（要先分n1和n2两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）。类型Ⅲ累加法：形如an1anf(n)型的递推数列（其中f(n)是关于n的函数）可构造：anan1f(n1)an1an2f(n2)...a2a1f(1)将上述n1个式子两边分别相加，可得：anf(n1)f(n2)...f(2)f(1)a1,(n2)①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;②若f(n
6、)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;③若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和.类型Ⅳ累乘法：形如an1anf(n)an1f(n)型的递推数列（其中f(n)是关于n的函数）可构ananf(n1)an1an1f(n2)造：an2...a2f(1)a1将上述n1个式子两边分别相乘，可得：anf(n1)f(n2)...f(2)f(1)a1,(n2)有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。类型Ⅴ构造数列法：㈠形如an1panq（其中p,q
7、均为常数且p0）型的递推式：（1）若p1时，数列{an}为等差数列;（2）若q0时，数列{an}为等比数列;（3）若p1且q0时，数列{an}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如下两种：法一：设an1p(an),展开移项整理得an1pan(p1),与题设an1panq比较系数（待定系数法）得q,(p0)an1qp(anq)anqp(an1q),即p1p1p1p1p1anqqp为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公构成以a1为首项，以p1p1式求出anq的通项整理可得an.p1法二：由a
8、n1panq得anan1anp,即pan1q(n2)两式相减并整理得an1anan1an构成以a2a1为首项，以p为公比的等比数列.求出an1an的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出an.㈡形如an1panf(n)(p1)型的递推式：⑴当f(n)为一次函数类型（即等差数列）时：法一：设anAnBpan1A(n1)B，通过待定系数法确定A、B的值，转化成以a
