高中数学必修5常考题型：一元二次不等式及其解法.docx

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1、一元二次不等式及其解法【知识梳理】1．一元二次不等式我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．2．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表判别式＝b2－4ac>0＝0<02有两相异实根x1，x2有两相等实根x1＝x2一元二次方程ax＋，(x1没有实数根bx＋c＝0(a>0)的根＜x2

2、)＝－b2a二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象ax2＋bx＋c>0(a>0){x

3、x

4、x≠－2a的解集或x>xax2＋bx＋c<0(a>0){x

5、x1

6、为1x2＝－2.又二次函数{x

7、x＞－2，或x＜－3}．(2)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x

8、－1≤x≤5}．(3)原不等式可化为2x－922≤0，所以原不等式的解集为x

9、x＝94.(4)原不等式可化为x2－6x＋10＜0，＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为?.(5)原不等式可化为2x2－3x＋2＞0，因为＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集

10、为R.【类题通法】解一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；(2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．【对点训练】1．解下列不等式：(1)x2－5x－6>0；(2)－x2＋7x>6.(3)(2－x)(x＋3)<0；(4)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)．解：(1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6.结合二次函数y＝x2－5x－6的图象知，原不等式的解集为{x

11、x<－1或x>6}．(2)原不等式可化为x2－7x＋6<

12、0.解方程x2－7x＋6＝0得，x1＝1，x2＝6.结合二次函数y＝x2－7x＋6的图象知，原不等式的解集为{x

13、10.方程(x－2)(x＋3)＝0两根为2和－3.结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为{x

14、x<－3或x>2}．(4)由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2.∴原不等式等价于9x2－12x＋4>0.解方程9x2－12x＋4＝0，得x122＝x＝3.y＝9x2－12x＋4{x

15、x≠2结合二次函数的图象知，原不等式的解集为3}.题型二、解含参数的一元二次不等式【例2】解关于

16、x的不等式x2＋(1－a)x－a＜0.[解]方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x122＋(1－a)x－a的图象开口＝－1，x＝a，函数y＝x向上，则当a＜－1时，原不等式解集为{x

17、a＜x＜－1}；当a＝－1时，原不等式解集为?；当a＞－1时，原不等式解集为{x

18、－1＜x＜a}．【类题通法】解含参数的一元二次不等式时：(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论；(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式进行讨论；(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．【对点训练】2．解关于x的不等式：ax2－(a－1)x－1＜0

19、(a∈R)．解：原不等式可化为：(ax＋1)(x－1)＜0，当a＝0时，x＜1，1当a＞0时x＋a(x－1)＜0∴－1a＜x＜1.当a＝－1时，x≠1，1当－1＜a＜0时，x＋a(x－1)＞0，1∴x＞－a或x＜1.1当a＜－1时，－a＜1，1∴x＞1或x＜－a，综上原不等式的解集是：当a＝0时，{x

20、x＜1}；1当a＞0时，x

21、－a＜x＜1；当a＝－1时，{x

22、x≠1}；当－1＜a＜0时，1x

23、x＜1或x＞－a.1当a＜－1时，x

24、x＜－a或x＞1，题型三、一元二次不等式与相应函数、方程的关系【例3】已知关于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x

25、1＜x＜2

26、}，求关于x的不等式bx