全国高中数学必修5常考题型：一元二次不等式及其解法

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1、一元二次不等式及其解法【知识梳理】1．一元二次不等式我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。2．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0一元二次方程ax2＋bx＋c＝

2、0(a>0)的根有两相异实根x1，x2，(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－没有实数根二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集或x>x2}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集∅∅【常考题型】题型一、一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式：(1)2x2＋7x＋3＞0；(2)x2－4x－5≤0；(3)－4x2＋18x－≥0；(4)－x2＋3x－5＞0；(5)－2x2＋3x－2＜0.[解]　(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不

3、等实根x1＝－3，x2＝－.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为{x

4、x＞－，或x＜－3}．聞創沟燴鐺險爱氇谴净。(2)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x

5、－1≤x≤5}．(3)原不等式可化为2≤0，所以原不等式的解集为.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。(4)原不等式可化为x2－6x＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。(5)原

6、不等式可化为2x2－3x＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。【类题通法】解一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；(2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．【对点训练】1．解下列不等式：(1)x2－5x－6>0；(2)－x2＋7x>6.(3)(2－

7、x)(x＋3)<0；(4)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)．解：(1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6.结合二次函数y＝x2－5x－6的图象知，原不等式的解集为{x

8、x<－1或x>6}．(2)原不等式可化为x2－7x＋6<0.解方程x2－7x＋6＝0得，x1＝1，x2＝6.结合二次函数y＝x2－7x＋6的图象知，原不等式的解集为{x

9、10.方程(x－2)(x＋3)＝0两根为2和－3.结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等

10、式的解集为{x

11、x<－3或x>2}．(4)由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2.∴原不等式等价于9x2－12x＋4>0.解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝.结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为{x

12、x≠}.题型二、解含参数的一元二次不等式【例2】解关于x的不等式x2＋(1－a)x－a＜0.[解]方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a，函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，则当a＜－1时，原不等式解集为{x

13、a＜x＜－1}；謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。当

14、a＝－1时，原不等式解集为∅；当a＞－1时，原不等式解集为{x

15、－1＜x＜a}．【类题通法】解含参数的一元二次不等式时：(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论；(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．【对点训练】2．解关于x的不等式：ax2－(a－1)x－1＜0(a∈R)．解：原不等式可化为：(ax＋1)(x－1)＜0，当a＝0时，x＜1，当a＞0时(x－1)＜0厦礴恳蹒骈時盡继價骚。∴－＜x＜1.当a＝

16、－1时，x≠1，当－1＜a＜0时，(x－1)＞0，茕桢广鳓鯡选块网羈泪。∴x＞－或x＜1.当a＜－1时，－＜1，∴x＞1或x＜－，综上原不等式的解集是：当a＝0时，{x

17、x＜1}；当a＞0时，；鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。当a＝－1时，{x

18、x≠1}；当－1＜a＜0时，.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。当a＜－1时，，預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。题型三、一元二次不等式与相应函数、方程的关系【例3】已知关于x的不等式x2＋