高中数学必修5常考题型：一元二次不等式及其解法(复习课)

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1、一元二次不等式及其解法(复习课)【常考题型】题型一、简单的分式不等式【例1】　解下列不等式(1)<0；(2)≤2.[解]　(1)由<0，得>0，此不等式等价于(x＋2)(x－1)>0，∴原不等式的解集为{x

2、x<－2或x>1}．(2)法一：移项得－2≤0，左边通分并化简有≤0，即≥0，它的同解不等式为∴x<2或x≥5.∴原不等式的解集为{x

3、x<2或x≥5}．法二：原不等式可化为≥0，此不等式等价于①或②解①得x≥5，解②得x<2，∴原不等式的解集为{x

4、x<2或x≥5}．【类题通法】1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次

5、不等式组求解，但要注意分母不为零．2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．【对点训练】1．解下列不等式：(1)≥0；　　(2)>1.解：(1)原不等式等价于即⇒－2≤x<3.∴原不等式的解集为{x

6、－2≤x<3}．(2)原不等式可化为－1>0，即<0.等价于(3x－2)(4x－3)<0.∴

7、

8、于mx2＋mx＋m－1＜0，对x∈R恒成立，当m＝0时，0·x2＋0·x－1＜0对x∈R恒成立．当m≠0时，由题意，得⇔⇔⇔m＜0.综上，m的取值范围为m≤0.【类题通法】不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0，它的解集为R的条件为一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为∅的条件为【对点训练】2．若关于x的不等式ax2＋2x＋2＞0在R上恒成立，求实数a的取值范围．解：当a＝0时，原不等式可化为2x＋2＞0，其解集不为R，故a＝0不满足题意，舍去

9、；当a≠0时，要使原不等式的解集为R，只需解得a＞.综上，所求实数a的取值范围为.题型三、一元二次不等式的实际应用【例3】　某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．[解]　(1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总

10、金额为200a(1＋2x%)．依题意得，y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝a(100＋2x)(10－x)(0＜x＜10)．(2)原计划税收为200a·10%＝20a(万元)．依题意得，a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，化简得x2＋40x－84≤0，∴－42≤x≤2.又∵0＜x＜10，∴0＜x≤2.∴x的取值范围是{x

11、0＜x≤2}．【类题通法】用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤是：(1)理解题意，搞清量与量之间的关系；(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；(3)解这个一元二次不等式，得到实

12、际问题的解．【对点训练】3．某校园内有一块长为800m，宽为600m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．解：设花卉带的宽度为xm，则中间草坪的长为(800－2x)m，宽为(600－2x)m．根据题意可得(800－2x)(600－2x)≥×800×600，整理得x2－700x＋600×100≥0，即(x－600)(x－100)≥0，所以0＜x≤100或x≥600，x≥600不符合题意，舍去．故所求花卉带宽度的范围为(0,100]m.【练习反馈】1．若

13、集合A＝{x

14、－1≤2x＋1≤3}，B＝{x

15、≤0}，则A∩B＝(　　)A．{x

16、－1≤x＜0}　　　B．{x

17、0＜x≤1}C．{x

18、0≤x≤2}D．{x

19、0≤x≤1}解析：选B　∵A＝{x

20、－1≤x≤1}，B＝{x

21、0＜x≤2}，∴A∩B＝{x

22、0＜x≤1}．2．已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则a的取值范围是(　　)A．－4≤a≤4B．－4＜a＜4C．a≤－4或a≥4D．a＜－4或a＞4解析：选A　依题意应有Δ＝a2－16≤0，解得－4≤a≤4，故选A.3．不等式≤3的解集为________．解析：≤3⇔－3≤0⇔≥0⇔x(2x－1)≥

23、0且x≠0⇔x<0或x≥.答案：4．若函数f(x)＝log2(x2－2ax－a)的定义域为R，则a的取值范围