高中数学必修3北师大版1.8最小二乘法教案.docx

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1、第一章统计8最小二乘法教学目标：1、掌握最小二乘法的思想2、能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程教学重点：最小二乘法的思想教学难点：线性回归方程系数公式的应用教学过程回顾：上节课我们讨论了人的身高与右手一拃长之间的线性关系，用了很多种方法来刻画这种线性关系，但是这些方法都缺少数学思想依据。问题1、用什么样的线性关系刻画会更好一些？想法：保证这条直线与所有点都近（也就是距离最小）。最小二乘法就是基于这种想法。问题2、用什么样的方法刻画点与直线的距离会方便有效？设直线方程为y=a+bx，样本点A（xi，yi）

2、方法一、点到直线的距离公式bxiyiayxi,yid21yabxb2xi,abxi方法二、yiabxi显然方法二能有效地表示点A0x与直线y=a+bx的距离，而且比方法一更方便计算，所以我们用它来表示二者之间的接近程度。问题3、怎样刻画多个点与直线的接近程度？例如有5个样本点，其坐标分别为（x，y），（x，y），（x，y），（x，y），11223344（x5，y5）与直线y=a+bx的接近程度：2y22y3abx32y42y52y1abx1abx2abx4abx5从而我们可以推广到n（x，y），（x，y），⋯（x，y

3、）个样本点：1122nn与直线y=a+bx的接近程度：y1abx12abx22ynabxn2y2使得上式达到最小值的直线y=a+bx就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法问题4、怎样使y1a2a22bx1y2bx2ynabxn达到最小值？先来讨论3个样本点的情况，y），（x，y）y=a+bx设有3个点（x，y），（x112233，则由最小二乘法可知直线与这3个点的接近程度由下面表达式刻画：y1abx12y2abx22y3abx32⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①整理成为关于a的一元二次函数f(a)，如下所示：f(a)3a22a

4、y1bx1y2bx2y3bx3y1bx12y2bx22y3bx323a22aybxy12y22y3bx1bx2利用配方法可得f(a)3a2y12y22y3ybxbx1bx2从而当aybx时，使得函数f(a)达到最小值。将aybx代入①式，整理成为关于b的一元二次函数222g(b)x1xx2xx3xb22bx322bx33ybxgb，2bx1xy1yx2xy21yx3xy3yy12y2y2y32yy同样使用配方法可以得到，当x1xy1yx2xy2yx3xy3yb222x1xx2xx3xx1y1x2y2x3y33xy2

5、222x1x2x33x时，使得函数gb达到最小值。从而得到直线y=a+bx的系数a，b，且称直线y=a+bx为这3个样本点的线性回归方程。用同样的方法我们可以推导出n个点的线性回归方程的系数：nbx1y1x2y2xnynnxyxiyinxyi12222n2x1x2xnnx2nxxii1aybx其中xx1x2xn,yy1y2ynnn由aybx我们知道线性回归直线y=a+bx一定过x,y。例题与练习例1在上一节练习中，从散点图可以看出，某小卖部6天卖出热茶的杯数（y）与当天气温（x）之间是线性相关的。数据如下表气温（xi

6、）／oC261813104-1杯数（yi）／202434385064杯（１）试用最小二乘法求出线性回归方程。o（２）如果某天的气温是－3C，请预测可能会卖出热茶多少杯。70杯数605040302010气温204068ixiyixi2xiyi126206765202182432443231334169442410381003805450162006－1641－64合计7023012861910可以求得b1.648,a57.557则线性回归方程为y=57.557－1.648x（2）当某天的气温是－3oC时，卖出热茶的杯数

7、估计为：57.5571.648362.50163练习1已知x，y之间的一组数据如下表，则y与x的线性回归方程y=a+bx必经过点(D)x0123y1357（A）（2，2）（B）（1.5，0）（C）（1，2）（D）（1.5，4）练习2某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：商店名称ABCDE销售额（x）/千万元35679利润额（y）/百万元23345（１）画出销售额和利润额的散点图；（２）若销售额和利润额具有相关关系，计算利润额y对销售额x的回归直线方程。解：（1）y6420-55-2（2）数据如下

8、表：i-4xiyi1322533-663474595合计-83017可以求得b=0.5，a=0.4线性回归方程为：y0.40.5x小结-101、最小二乘法的思想2、线性回归方程的系数：-12x1y1x2y2xnynnxyb2222x1-14x2xnnxaybx-16x1015xi2xiyi962515361849288145200112nxi