高中数学 第十二课时 1.9最小二乘法教案 北师大版必修3

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1、第十二课时§1.9最小二乘法一、教学目标：经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程。知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。二、教学重难点：重点：了解最小二乘法的思想并利用此思想借助电子表格求出回归方程。教学内容的难点：对最小二乘法的数学思想和回归方程的理解教学实施过程中的难点：根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。三、教学方法：动手操作，合作交流。四、教学过程：(一)、利用最小二乘法推导回归系数公式。回顾上节课：师：我们现在来求距离和。怎么求？生：利用点到直线的距离公式师生共同：只要求出使距离和最小的、b即可

2、。但是，我们知道点到直线的距离公式计算复杂。怎么办呢？以样本数据点A为例，可以看出：在△ABC中，（教师动画演示）按照一对一的关系，直角边AC越小，斜边AB越小，当AC无限小时，AB跟AC可近似看作相等。求麻烦，不妨求生：师：它表示自变量x取值一定时，纵坐标的偏差。假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据：……。当自变量取（=1，2，……，n）时，可以得到（=1，2，……，n），它与实际收集到的之间的偏差是（=1，2，……，n）这样用n个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适的。总的偏差为，偏差有正有负，易抵消，所以采用绝对值，由于带

3、绝对值计算不方便所以换成平方，现在的问题就归结为：当，b取什么值时Q最小。将上式展开、再合并，就可以得到可以求出Q取最小值时（其中，）推导过程用到偏差的平方，由于平方又叫二乘方，所以这种使“偏差的和”最小的方法叫“最小二乘法”。设计意图：培养学生的动手操作能力，最小二乘法的思想是本节课的教学难点，先让学生动手操作画回归直线，教师动画演示，进一步演绎推理来分解难点、突破难点（二）、直线回归方程的应用（1）描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系（2）利用回归方程进行预测；把预报因子（即自变量x）代入回归方程对预报量（即因变

4、量Y）进行估计，即可得到个体Y值的容许区间。（3）利用回归方程进行统计控制规定Y值的变化，通过控制x的范围来实现统计控制的目标。如已经得到了空气中NO2的浓度和汽车流量间的回归方程，即可通过控制汽车流量来控制空气中NO2的浓度。应用直线回归的注意事项：（1）做回归分析要有实际意义；（2）回归分析前,最好先作出散点图；（3）回归直线不要外延。（四）、实例分析：某调查者从调查中获知某公司近年来科研费用支出（）与公司所获得利润（）的统计资料如下表：科研费用支出（）与利润（）统计表单位：万元年份科研费用支出利润1998199920002001200220035114

5、532314030342520合计30180要求估计利润（）对科研费用支出（）的线性回归模型。解：设线性回归模型直线方程为：因为：根据资料列表计算如下表：年份199819992000200120022003511453231403034252015544012017075402512116259406-10-2-311004-5-100361049060001030合计3018010002000050100现利用公式（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）求解参数的估计值： 所以：利润（）对科研费用支出（）的线性回归模型直线方程为：求直线回归方程，相关系数和作图,这些EXCE

6、L可以方便地做到。仍以上题的数据为例。于EXCEL表中的空白区，选用"插入"菜单命令中的"图表"，选中XY散点图类型，在弹出的图表向导中按向导的要求一步一步地操作，如有错误可以返回去重来或在以后修改。适当修饰图的大小、纵横比例、字体大小、和图符的大小等，使图美观，最后得到图1，图中有直线称为趋势线，还有直线方程和相关系数。图中的每一个部份如坐标、标题、图例等都可以分别修饰，这里主要介绍趋势线和直线方程。图1散点图　　鼠标右键点击图中的数据点，出现一个对话框，选"添加趋势线"，图中自动画上一条直线，再以鼠标右击此线，出现趋势线格式对话框，选择线条的粗细和颜色，

7、在选项中选取显示公式和显示R平方值，确定后即在图中显示回归方程和相关系数。（五）、课堂练习：第83页，练习A,练习B(六)、小结：经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程。知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。（七）、课后作业：第84页，习题2-3A第1、2题,五、教后反思：