2020数学(文)二轮教师用书：第2部分专题5第3讲圆锥曲线中的综合问题Word版含解析.docx

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1、第3讲圆锥曲线中的综合问题圆锥曲线中的定点、定值问题(5年3考)[高考解读]定点、定值问题是解析几何中的常见问题，此类试题多考查圆锥曲线的基本知识、解析几何的基本方法，难度不高，不同层次的同学均能顺利解决.此类考题注重考查通性通法的应用，考查考生的逻辑推理和数学运算的核心素养.角度一：定点问题x221．(2017·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：2＋y＝1上，过M→→作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP＝2NM.(1)求点P的轨迹方程；→→(2)设点Q在直线x＝－3上，且OP·PQ＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.→→切入点：①点M在椭圆C上，

2、且MN⊥x轴；②NP＝2NM.→→关键点：将OP·PQ＝1转化为向量的坐标运算，进而证明直线l过C的左焦点F.[解](1)设P(x，y)，M(x0，y0)，→→则N(x0,0)，NP＝(x－x0，y)，NM＝(0，y0)．→→2由NP＝2NM得x0＝x，y0＝2y.x2y2因为M(x0，y0)在C上，所以2＋2＝1.因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.(2)证明：由题意知F(－1,0)．设Q(－3，t)，P(m，n)，则→→→→OQ＝(－3，t)，PF＝(－1－m，－n)，OQ·＝3＋3m－tn，PF→→＝(m，n)，PQ＝(－3－m，t－n)．OP→→由OP·PQ＝1得－

3、3m－m2＋tn－n2＝1.又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.→→→→所以OQ·＝0，即OQ⊥PF.PF又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.角度二：定值问题2．(2019·全国卷Ⅰ)已知点A，B关于坐标原点O对称，

4、AB

5、＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切．(1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径；(2)是否存在定点P，使得当A运动时，

6、MA

7、－

8、MP

9、为定值？并说明理由．切入点：①⊙M过点A，B；②⊙M与直线x＋2＝0相切．关键点：①确定圆心M的坐标；②选用合适的参数表示

10、MA

11、－

12、MP

13、的值．[解](1

14、)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上．由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a)．因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝

15、a＋2

16、.22由已知得

17、AO

18、＝2，又MO⊥AO，故可得2a＋4＝(a＋2)，解得a＝0或a＝4.(2)存在定点P(1,0)，使得

19、MA

20、－

21、MP

22、为定值．理由如下：设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝

23、x＋2

24、，

25、AO

26、＝2.由于MO⊥AO，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2，化简得M的轨迹方程为y2＝4x.因为曲线C：y2＝4x是以点P(1,0)为焦点，以直线x＝－

27、1为准线的抛物线，所以

28、MP

29、＝x＋1.因为

30、MA

31、－

32、MP

33、＝r－

34、MP

35、＝x＋2－(x＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P.[教师备选题]x2y21．(2017·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)，四点P1(1,1)，P2(0,1)，P3－1，3，P4，3中恰有三点在椭圆C上．212(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点．[解](1)由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知椭圆C经过P3，P4两点．又由11132＋2＞2＋2知，椭圆C不经过点P1，aba4b所以点P2

36、在椭圆C上．1b2＝1，a2＝4，x22因此132解得2＝1.故椭圆C的方程为4＋y＝1.2ba＋4b＝1，(2)证明：设直线221，k2.PA与直线PB的斜率分别为k如果l与x轴垂直，设l：x＝t，由题设知t≠0，且

37、t

38、＜2，可得A，B的坐标分别为t，4－t22－2－2－2＋2，t，－4－t，则k1＋k2＝4t－4t＝－1，得t＝222t2t2，不符合题设．从而可设l：y＝kx＋m(m≠1)．2将y＝kx＋m代入x4＋y2＝1得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.由题设可知＝16(4k2－m2＋1)>0.设A(x1，y1)，2，y2，则x1＋x2＝－8km，x

39、12＝4m2－422B(x)4k＋1x4k＋1.而k1＋k2＝y1－1y2－11＋x2x＝kx1＋m－1＋kx2＋m－1x1x2＝2kx1x2＋m－1x1＋x2.x1x2由题设k1＋k2＝－1，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.2－4－8km＋4mm1即(2k＋1)·4k2＋1＋(m－1)·4k2＋1＝0，解得k＝－2.当且仅当m＞－1时，＞0，m＋1于是l：y＝－2x＋m，m＋1即y＋1＝－2(x－2)，所以l过定点(2，－1)．2．(2018·北京高考)已知抛物线C：y2＝2px经过点P(1