2020数学(文)二轮教师用书：第2部分 专题5 第3讲 圆锥曲线中的综合问题 Word版含解析.pdf

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1、第3讲圆锥曲线中的综合问题圆锥曲线中的定点、定值问题(5年3考)[高考解读]定点、定值问题是解析几何中的常见问题，此类试题多考查圆锥曲线的基本知识、解析几何的基本方法，难度不高，不同层次的同学均能顺利解决.此类考题注重考查通性通法的应用，考查考生的逻辑推理和数学运算的核心素养.角度一：定点问题x21．(2017·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M2→→作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP＝2NM.(1)求点P的轨迹方程；→→(2)设点Q在直线x＝－3上，且OP·PQ＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过

2、C的左焦点F.→→切入点：①点M在椭圆C上，且MN⊥x轴；②NP＝2NM.→→关键点：将OP·PQ＝1转化为向量的坐标运算，进而证明直线l过C的左焦点F.[解](1)设P(x，y)，M(x，y)，00→→则N(x0)，NP＝(x－x，y)，NM＝(0，y)．0,00→→2由NP＝2NM得x＝x，y＝y.002x2y2因为M(x，y)在C上，所以＋＝1.0022因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.(2)证明：由题意知F(－1,0)．设Q(－3，t)，P(m，n)，则→→→→OQ＝(－3，t)，PF＝(－1－m，－n)，OQ·PF＝3

3、＋3m－tn，→→OP＝(m，n)，PQ＝(－3－m，t－n)．→→由OP·PQ＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1.又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.→→→→所以OQ·PF＝0，即OQ⊥PF.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.角度二：定值问题2．(2019·全国卷Ⅰ)已知点A，B关于坐标原点O对称，

4、AB

5、＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切．(1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径；(2)是否存在定点P，使得当A运动时，

6、MA

7、－

8、MP

9、为定值？并说明理由．切入

10、点：①⊙M过点A，B；②⊙M与直线x＋2＝0相切．关键点：①确定圆心M的坐标；②选用合适的参数表示

11、MA

12、－

13、MP

14、的值．[解](1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上．由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a)．因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝

15、a＋2

16、.由已知得

17、AO

18、＝2，又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，解得a＝0或a＝4.故⊙M的半径r＝2或r＝6.(2)存在定点P(1,0)，使得

19、MA

20、－

21、MP

22、为定值．理由如下：设M(

23、x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝

24、x＋2

25、，

26、AO

27、＝2.由于MO⊥AO，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2，化简得M的轨迹方程为y2＝4x.因为曲线C：y2＝4x是以点P(1,0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，所以

28、MP

29、＝x＋1.因为

30、MA

31、－

32、MP

33、＝r－

34、MP

35、＝x＋2－(x＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P.[教师备选题]x2y21．(2017·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，四点P(1,1)，P(0,1)，a2b21233P－1，，P1，中恰有三点在椭圆C上．3242(1

36、)求C的方程；(2)设直线l不经过P点且与C相交于A，B两点．若直线PA与直线PB的222斜率的和为－1，证明：l过定点．[解](1)由于P，P两点关于y轴对称，故由题设知椭圆C经过P，P两点．34341113又由＋＞＋知，椭圆C不经过点P，a2b2a24b21所以点P在椭圆C上．21＝1，b2a2＝4，x2因此解得故椭圆C的方程为＋y2＝1.13b2＝1.4＋＝1，a24b2(2)证明：设直线PA与直线PB的斜率分别为k，k.2212如果l与x轴垂直，设l：x＝t，由题设知t≠0，且

37、t

38、＜2，可得A，B的坐标分

39、4－t24－t24－t2－24－t2＋2别为t，，t，－，则k＋k＝－＝－1，得t＝22122t2t2，不符合题设．从而可设l：y＝kx＋m(m≠1)．x2将y＝kx＋m代入＋y2＝1得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.4由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)>0.8km4m2－4设A(x，y)，B(x，y)，则x＋x＝－，xx＝.1122124k2＋1124k2＋1y－1y－1而k＋k＝1＋212xx12kx＋m－1kx＋m－1＝1＋2xx122kxx＋m－1x＋x＝1212.xx12

40、由题设k＋k＝－1，12故(2k＋1)xx＋(m－1)(x＋x)＝0.12124m2－4－8kmm＋1即(2k＋1)·＋(m－1)·＝0，解得k＝－.4k2＋14k2＋12当且仅当m＞－1时，Δ＞0，m＋1于是l：y＝－x＋m，2m＋1即y＋1＝－