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《高等数学课后习题答案第六章.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、习题六1.指出下列各微分方程的阶数：(1)一阶(2)二阶(3)三阶(4)一阶2.指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：(1)xy2y,y5x2;解：由y5x2得y10x代入方程得故是方程的解.x10x25x210x2(2)yy0,y3sinx4cosx;解：y3cosx4sinx;y3sinx4cosx代入方程得3sinx4cosx3sinx4cosx0.故是方程的解.(3)y2yy0,yx2ex;解：y2xexx2ex(2xx2)ex,y(24xx2)ex代入方程得2ex0.故不是方程的解.(4)y(12)y12y0,yC1e1xC2e2x.解：yC11e1xC22e2x,yC1
2、12e1x2e2xC22代入方程得C112e1xC222e2x(12)(C11e1xC22e2x)12(C1e1xC2e2x)0.故是方程的解.3.在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解：(1)(x2y)y2xy,x2xyy2C;证：方程x2xyy2C两端对x求导：2xyxy2yy02xyy得x2y代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解.(2)(xyx)yxy2yy2y0,yln(xy).证：方程yln(xy)两端对x求导：y11xyy(*)yy得x(y1).(*)式两端对x再求导得yy11y1x2x2(y1)2将y,y代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解.4.从
3、下列各题中的曲线族里，找出满足所给的初始条件的曲线：(1)x2y2C,yx05;解：当x0时，y=5.故C=-25故所求曲线为：y2x2252x(2)y(C1C2x)e,yx00,yx01.解：y(C22C12C2x)e2x当x=0时，y=0故有C10.又当x=0时，y1.故有C21.故所求曲线为：yxe2x.5.求下列各微分方程的通解：(1)xyylny0;dy1dx解：分离变量,得ylnyx1dlny1dx积分得lnyxlnlnylnxlnclnycx得yecx.(2)y1y;1xdydx解：分离变量，得1y1xdydx积分得1y1x得通解：21y21xc.(3)(exyex)dx(
4、exyey)dy0;eyydyeyxdx解：分离变量，得1e1e积分得ln(ey1)ln(ex1)lnc得通解为(ex1)(ey1)c.(4)cosxsinydxsinxcosydy0;cosxdxcosydy0解：分离变量，得sinxsiny积分得lnsinylnsinxlnc得通解为sinysinxc.(5)yxy;dyxdxy解：分离变量，得lny1x2c积分得2112x(cec1)得通解为yce2(6)2x1y0;解：y2x1积分得y(2x1)dx得通解为yx2xc.(7)4x32x3y2y0;解：分离变量，得3y2dy(4x32x)dx积分得y3x4x2c即为通解.(8)yex
5、y.解：分离变量，得eydyexdx积分得eydyexdx得通解为：eyexc.6.求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：(1)ye2xy,yx00;解：分离变量，得eydye2xdxey1e2xc积分得2.以x0,y0代入上式得c12ey1(e2x1)故方程特解为ylny,2.(2)ysinxyxeπ2.dydx解：分离变量，得ylnysinxctanx积分得ye2πx,ye将2代入上式得c1tanx故所求特解为ye2.7.求下列齐次方程的通解：(1)xyyy2x20;dyy2y1解：dxxxuydyuxdu令xdxdxdudx原方程变为u21x两端积分得ln(uu21)lnxlnc
6、uu21cxyy21cxxx即通解为：yy2x2cx2(2)xdyylnydxx;dyylny解：dxxxuydyuxdu令x，则dxdxdudx原方程变为u(lnu1)x积分得ln(lnu1)lnxlnclnu1cxlny1cxxxecx1即方程通解为y(3)(x2y2)dxxydx02x2y21ydyxdxxyy解：xuydyuxdu令x，则dxdxuxdu1u2原方程变为dxuxdu1,ududx即dxux积分得1u2lnxlnc12y22lnx2lnc1x2故方程通解为y2x2ln(cx2)(cc12)(4)(x3y3)dx3xy2dy0;y3dyx3y31xdx3xy232y解
7、：xuydyuxdu令x,则dxdxudux1u3原方程变为dx3u23u2dx即12u3dux积分得1ln(2u31)lnxlnc12y2y3x3cx.以x代替u，并整理得方程通解为(5)dyxydxxy;dy1yxdx1y解：xuydyuxdu令x，则dxdxudu1ux1u原方程变为dx1udu1dx分离变量,得1u2x积分得arctanu1ln(1u2)lnxlnc12yx2y22arctany12)cex.(c以x代替u，
