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1、年我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷说明:第一试每题分,共分;第二试每题分,共分.第一试.已知≠,并且关于的方程－－①至多有一个解,试问:关于的方程(－)(－)3a②是否一定有解?并证明你的结论..已知点为等腰△的底边的中点为线段内部的任意一点,设的垂直平分线与直线交于点与交于点.求证:直线是△的外接圆的切线..在,⋯这个正整数中,最多可以取出多少个数,使得所取出的数中的每一个都与互质,并且所取出的数中的任意三个的和都不是的倍数.第二试.已知在△中,∠°,,则..已知,则代数式化简的最后结果是..代数式－的最小值为..如果一个直角
2、三角形的两条直角边的乘积等于它的斜边的平方的,那么,这个直角三角形中较大的锐角的度数为.1/6.已知在直角坐标系中,△的三个顶点分别为(,)、(,)、(,).则△的边上的高与∠的平分线的交点的坐标为..已知某工厂一月份生产某产品万件,二月份生产万件,三月份生产万件月份生产万件,其中、、都是常数,⋯,则该工厂四月份生产万件..方程－(－)－(－)的解为..已知矩形的周长的平方与面积的比为.则矩形的较长的一边与较短的一边的长度的比等于..已知正方形纸片的面积为.现将该纸片沿一条线段折叠(如图),使点落在边上的点′处,点落在点′处′′
3、与交于点.则△′的周长等于..若为整数<<,且()是一个完全平方数,则整数的值等于.参考答案第一试.由题意知,方程①的判别式4a(－)≤(2a－)≤∴－≤≤,－≤2a－≤∴－≤≤≤.2/6当－时,方程②化为－,有解.当－<时,方程②的判别式(－)－()(－)>,此时也有解.综上所述,方程②一定有解..以为圆心、为半径作圆,则点、都在该圆的圆周上.联结.则∠°－∠°－∠∠.因此是△的外接圆的切线..将,⋯分别用除,余数为、、、、的各有个;余数为、的各有个.在,⋯中,与不互质的数有××,⋯×以及×××××.将这些与不互质的数分别用除
4、,余数依次为,⋯以及.于是,在这些与不互质的数中,余数为、、、、、、的依次有、、、、、、个.在,⋯且与互质的数中,余数为、、、、、、的依次有、、、、、、个.要使所取出的数中的任意三个的和都不是的倍数,至多取个余数为的数.由于余数为()、()、()、()、()、()以及()、()的三数的和都是的倍数,因此,至多取组其余数在图中不相邻的全部数.3/6经验证可知,取组余数为、的全部数,再取个余数为的数,符合题目的要求,且取出的数的个数达到最大值.故最多可以取出个数,使得所取出的数中的每一个都与互质,并且所取出的数中的任意三个的和都不是
5、的倍数.第二试－....令－,则××,×－×－.故()－××(×－)×(－×)≥.所以≥.当且仅当时取最小值4/6°.设较大的锐角为α.由题意易知α·ααα°.(,).设△的边上的高与∠的线交于点(,).则∠∠.又∠∠,于是,由半角公式得.·.由题设易知··.则(－)(－).故－.所以..,－－.令,代入原方程得－－.易知满足条件.故.于是－(－)－(－)(－)(－).(－)(－)(－).所以－－.5/6..设矩形的长、宽分别为、(≥).则(),即4a(－).令,则(－).解得..设正方形边长,∠′α.则∠′α′α′(－α).所
6、以,△′的周长为(－α)(αα)2a.或.设(),则()－.令,则－－.其为佩尔方程,其基本解为()().其全部正整数解可由()得到.其中,()(),()(),()()>.故或.6/6
