2004年我爱数学初中生夏令营数学竞赛试题

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1、2004年我爱数学初中生夏令营数学竞赛试题第一试1．求所有能使为正整数的正整数n．2．已知BE、CF是锐角△ABC的两条高，求证∠ABE的平分线、∠ACF的平分线与线段EF的垂直平分线相交于一点．3．在平面直角坐标系中，求同时满足下列两个条件的点的坐标；(1)直线y=－2x+3通过这样的点；(2)不论m取何值，抛物线y=mx2+(m－)－(2m－)都不通过这样的点．第二试1.若，则=．2．能使关于x的方程只有一个实数根的所有a的值的总和等于．3．要使方程x4+(m－4)x2+2(1－m)=O恰有一个不小于2的实根，那么m的取值范围是．4．在平面直角坐标系中，所有满足方程

2、x

3、+

4、y

5、=一

6、

7、

8、x

9、－

10、y

11、

12、的点(x,y)所围成的图形的面积为．5．已知，那么当－4x2+12y－8达到最大值时，22x－33y=．6．已知y=100+10nx－10x－100，其中n为正整数．要使0

13、长线相交于点F．那么AF=．10．如图，A、B两地相距600km,过A地的一条铁路AD笔直地沿东西方向向两边延伸．点B到AD的最短距离为360km．今计划在铁路线AD上修一个中转站C，再在BC间修一条笔直的公路．如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍，那么，为使通过铁路由A到C再通过公路由C到B的总运费达到最小值，中转站C的位置应使AC=km.参考答案第一试1．设=k，k为正整数．则n2－200kn+999k=0．①设方程①有正整数根n1，且另一根为n2由韦达定理有n1+n2=200k。②n1n2=999k．③因此，n2也是正整数，且n1、n2都满足题设条件。不妨设n1≥n2由②

14、得n1≥100k．由③得n2=999k/n1≤999k/100k．所以，n2≤9．经检验可知，只有n2=5符合条件，此时，k=25，n1=4995．因此，所求n为5，4995．2．如图。设∠ABE的平分线与∠ACF的平分线相交于点N，联结NE、NF．由B、C、E、F四点共圆，则∠ABE=∠ACF，∠FBN=∠FCN．所以，B、C、N、F四点共圆．从而，B、C、E、N、F五点共圆．于是．由∠FBN=∠NBE得NF=NE．故N在EF的垂直平分线上．3．由(2)知m≠O．设点(x0，y0)满足(1)和(2)，则y0=－2x0+3，①且对任意非零实数m，都有y0≠mx02+(m－)x0－(2m－)

15、．②将式①代入式②，并整理得(x0－1)(x0+2)m≠－x0+．所以x0=1，－2或63/32．代入①式得同时满足条件(1)、(2)的点的坐标为(1，1)，(－2,7)，(63/32,－15/16)．第二试1．7/92．－15．53．m≤－l4．20045．12646．47．/2提示：如图，设PQ与AB、AC的交点是D、E由相交弦定理得8．10/7提示：由内角平分线的性质求，9．6提示：如图由海伦公式得S△ABC=15/4AH=3/2，PC=2，PH=1.5，PA=3,△PHA∽△PFE10．480－120提示：设物资在每千米铁路上运输费为1．公路上的费用为2．设CD=x，则AC=480

16、－xBC=∴总费用y=480－x+2即y2+x2+230400+2xy－960x－960y=518400+4x2化简得3x2－2xy+960x－y2+960y+288000=0关于x的方程△≥O即，y2－960y－158400≥0又∵y最小∴y=480+360．x=120AC=480－120