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1、精品文档保三角形问题第一题1第二题3第三题4第一题13、(北京市海淀区2008年高三统一练习一)一个函数fx，如果对任意一个三角形，只要它的三边长a,b,c都在fx的定义域内，就有fa,fb,fc也是某个三角形的三边长，则称fx为“保三角形函数”．（I）判断f1xx，f2xx，f3xx2中，哪些是“保三角形函数”，哪些不是，并说明理由；（II）如果gx是定义在R上的周期函数，且值域为0,，证明gx不是“保三角形函数”；（III）若函数Fxsinx，x0,A是“保三角形函数”，求A的最大值．（可以利用公式sinxsiny2sinxycosxy）22
2、解：（I）f1x,f2x是“保三角形函数”，f3x不是“保三角形函数”．1分任给三角形，设它的三边长分别为a,b,c，则abc，不妨假设a剟c,bc，由于ababc0，所以f1x,f2x是“保三角形函数”.3分对于f3x，3，3，5可作为一个三角形的三边长，但323252，所以不存在三角形以32,32,52为三边长，故f3x不是“保三角形函数”．4分（II）设T0为gx的一个周期，由于其值域为0,，所以，存在nm0，使得gm1,gn2，取正整数nm，可知Tm,Tm,n这三个数可作为一个三角形的三边长，T但gTm1，gTm1,gn2不能作为任何一个
3、三角形的三边长．故gx。1欢迎下载精品文档不是“保三角形函数”．8分（III）A的最大值为5．9分56一方面，若A，下证Fx不是“保三角形函数”.655取,,0,A，显然这三个数可作为一个三角形的三边长，但266sin5151Fx不是1,sin6,sin6不能作为任何一个三角形的三边长，故222“保三角形函数”.另一方面，以下证明5是“保三角形函数”．A时，Fx65对任意三角形的三边a,b,c，若a,b,c(0,)，则分类讨论如下：（1）abc⋯2，6此时a⋯2bc255，同理，b,c，6633∴a,b,c(,5，故saibnc1s，in,),1
4、1362sinasinb21⋯sinc．2同理可证其余两式.∴sina,sinb,sinc可作为某个三角形的三边长．（2）abc2此时，abc，可得如下两种情况：22ab≤时，由于abc，所以，0ca2b≤.2222由sinx在(0,]上的单调性可得0sincsina2b≤1；ab2cab2时，，220222同样，由sinx在0,上的单调性可得0sincsinab1；222总之，0sincsinab≤1.252又由abc0,上单调递减，得及余弦函数在6cosabcosabcosccos50，22212。2欢迎下载精品文档∴sinasinb2sin
5、abcosab2sinccoscsinc．22225同理可证其余两式，所以sina,sinb,sinc也是某个三角形的三边长．故A时，6Fx是“保三角形函数”．综上，A的最大值为5．6∴第二题。3欢迎下载精品文档第三题一道调研试题的解法及思考江苏泰兴市第二高级中学（225400）叶玉明题目：（江苏南通2009年高三第一次调研测试）如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在函数f(x)的定义域内，就有f(a)，f(b)，f(c)也是某个三角形的三边长，则称f(x)为“保三角形函数”.（1）判断下列函数是不是“保三角形函数”，并证明你的结论：
6、①f(x)＝x；②g(x)＝sinx(x∈(0，π)).（2）若函数()＝lnx(x∈［，＋∞))是保三角形函数，求的最小值.hxMM（1）【答】f(x)＝x是保三角形函数，()＝sinx(x∈(0，π))不是保三角形函数.gx【证明】①f(x)＝x是保三角形函数.对任意一个三角形的三边长a，b，c，则a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b，f(a)＝a，f(b)＝b，f(c)＝c.因为(a＋b)2＝a＋2ab＋b＞c＋2ab＞(c)2，所以a＋b＞c.同理可以证明：b＋c＞a，c＋a＞b.所以f(a)、f(b)、f(c)也是某个三角形的三边长，故f
7、(x)＝x是保三角形函数.②g(x)＝sinx(x∈(0，π))不是保三角形函数.取π5π5π0，π，显然这三个数2，，66能作为一个三角形的三条边的长.而sinπ＝1，sin15π＝，不能作为一个三角形的三边长.262所以()＝sinx(x∈(0，π))不是保三角形函数.gx(2)【解】M的最小值为2.(i)首先证明当M≥2时，函数h(x)＝lnx(x∈［M，＋∞))是保三角形函数.对任意一个三角形三边长a，b，c∈［M，＋∞)，且a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b，则h(a)＝lna，h(b)＝lnb，h(c)＝lnc.因为a≥2，b≥2，a
8、＋b＞c，所以(a－1)(b－1)≥1，所以ab≥a＋b＞c，所以lnab＞lnc，即lna＋lnb＞lnc.同理可证明lnb＋lnc＞
