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1、12、(北京市东城区2008年高三综合练习二)已知函数满足下列条件：①函数的定义域为[0，1]；②对于任意；③对于满足条件的任意两个数（1）证明：对于任意的；（2）证明：于任意的；（3）不等式对于一切x∈[0，1]都成立吗？试说明理由.（1）证明：对于任意的即对于任意的……………………………………5分（2）证明：由已知条件可得所以对于任意的…………………………………………10分（3）解：取函数则显然满足题目中的（1），（2）两个条件，任意取两个数即不等式13、(北京市海淀区2008年高三统一练习一)一个函数，如果对任意一个三角形，只要它的三边长都在的定义域内，就有也是
2、某个三角形的三边长，则称为“保三角形函数”．（I）判断，，中，哪些是“保三角形函数”，哪些不是，并说明理由；（II）如果是定义在上的周期函数，且值域为，证明不是“保三角形函数”；（III）若函数，是“保三角形函数”，求的最大值．（可以利用公式）解：（I）是“保三角形函数”，不是“保三角形函数”．1分任给三角形，设它的三边长分别为，则，不妨假设，由于，所以是“保三角形函数”.3分对于，3，3，5可作为一个三角形的三边长，但，所以不存在三角形以为三边长，故不是“保三角形函数”．4分（II）设为的一个周期，由于其值域为，所以，存在，使得，取正整数，可知这三个数可作为一个三角
3、形的三边长，但，不能作为任何一个三角形的三边长．故不是“保三角形函数”．8分（III）的最大值为．9分一方面，若，下证不是“保三角形函数”.取，显然这三个数可作为一个三角形的三边长，但不能作为任何一个三角形的三边长，故不是“保三角形函数”.另一方面，以下证明时，是“保三角形函数”．对任意三角形的三边，若，则分类讨论如下：（1），此时，同理，，∴，故，．同理可证其余两式.∴可作为某个三角形的三边长．（2）此时，，可得如下两种情况：时，由于，所以，.由在上的单调性可得；时，，同样，由在上的单调性可得；总之，.又由及余弦函数在上单调递减，得，∴．同理可证其余两式，所以也是某
4、个三角形的三边长．故时，是“保三角形函数”．综上，的最大值为．29、(江苏省常州市北郊中学2008届高三第一次模拟检测)设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“①方程有实数根；②函数的导数满足”(Ⅰ)判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；(Ⅱ)若集合M中的元素具有下面的性质：“若的定义域为D，则对于任意，都存在，使得等式成立”试用这一性质证明：方程只有一个实数根；(Ⅲ)设是方程的实数根，求证：对于定义域中的任意的，当且时，解：(Ⅰ)易证函数满足条件①②，因此(Ⅱ)假设存在两个实根，则，不妨设，由题知存在实数，使得成立。∵，且，∴与已知矛盾，所以方程只有一个实数根(
5、Ⅲ)不妨设，∵，∴为增函数，∴，又∵∴函数为减函数，∴，∴，即，∴24、(河南省许昌市2008年上期末质量评估)设f(x)是定义在(0，1)上的函数，且满足：①对任意x∈(0，1)，恒有f(x)>0；②对任意x1，x2∈(0，1)，恒有＋≤2.(Ⅰ)求证：对任意x∈(0，1)，恒有f(x)＝f(1－x)；(Ⅱ)求证：对任意的x1、x2∈(0，1)，恒有f(x1)＝f(x2)．32、(江苏省如东高级中学2008届高三四月份模拟)定义在定义域D内的函数y=f(x),若对任意的x1、x2∈D,都有
6、f(x1)－f(x2)
7、＜1,则称函数y=f(x)为“Storm函数”．已知
8、函数f(x)=x3－x+a(x∈［－1,1］,a∈R)．（1）若，求过点处的切线方程；（2）函数是否为“Storm函数”?如果是,请给出证明;如果不是,请说明理由．分析:本题属于信息迁移题,主要考查利用导数求函数的极值．解：（1），，切线方程为．（2）函数f(x)=x3－x+a(x∈［－1,1］,a∈R)的导数是f′(x)=3x2－1,当3x2－1=0时,即x=±,当x＜时,f′(x)=3x2－1＜0;当x＞时,f′(x)=3x2－1＞0,故f(x)在x∈［－1,1］内的极小值是a－．同理,f(x)在x∈［－1,1］内的极大值是a+．∵f(1)=f(－1)=a,∴函数
9、f(x)=x3－x+a(x∈［－1,1］,a∈R)的最大值是a+,最小值是a－,因为
10、f(x1)－f(x2)
11、＜
12、fmax－fmin
13、,故
14、f(x1)－f(x2)
15、＜
16、fmax－fmin
17、=＜1．所以函数f(x)=x3－x+a(x∈［－1,1］,a∈R)是“Storm函数”．35、(山东省郓城一中2007-2008学年第一学期期末考试)造船厂年造船量20艘，造船艘产值函数为（单位：万元），成本函数（单位：万元），又在经济学中，函数的边际函数定义为（1）求利润函数及边际利润函数（利润=产值—成本）（2）问年造船量安排多少艘时，公司造船利润最大（3）边际
