复保角变换与权函数法

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1、第四讲:保角变换法与权函数法求应力强度应子预备知识:映照与广泛柯西积分公式.由已知解析函数经实轴或圆弧映照（反照）而得新的解析函数实轴映照解析，求也解析定义设定义用，的柯西黎曼条件，易证也解析2.单位圆上的映照若，可导出：，解析解析内内映照2.外内映照例3.外外映照4.内外映照在内不为零，上，本身可以是奇异的，它对应平面上的角点待定(1950,Darwin)5.6.7.二.柯西积分公式与广泛柯西积分公式—F(t)F(z)——闭曲线，方向逆时针——内有限域，——无限域内域柯西公式在内解析，在上连续2.外域柯西公式在内解析，(包括)3.含极点

2、的广泛内域柯西公式在内处为，有n阶极点，除此以外，在内解析则时，则4.外域广泛柯西积分公式在内解析，处，，则在处展成级数有则变换映象到平面，称为象平面。是解析的可以是奇异的，复势由变换用保角变换方法求复应力函数——带椭圆孔平板的拉伸问题象平面象平面带椭圆孔无限平板的拉伸问题椭圆孔，长、短半轴映象满足边界条件象平面当直线裂纹共轭等式在圆孔周边边界条件令和在单位圆边界满足的条件两侧各作运算在单位圆上在单位圆外利用内，外域柯西积分公式(1)(2)(3)(4)(5)最终解受拉伸的，含裂纹长为2a的无限平板由映照函数,可得在z平面应力位移分量。无限大

3、平板斜裂纹的复应力函数解22无限板，裂纹长为2a，远端处应力场为N1，N2。N1与裂纹的角度为α（如下图所示）。求复应力函数，。无限大平板斜裂纹的复应力函数解23I：时，II：III：叠加得：得相应的应力场与位移场。复势的方法致力于满足边界条件的复势应力函数，。权函数方法·简述利用前面的复变函数方法，对于每一种载荷情况，需要分别利用相应的边界条件确定对应的Kolosov－Muakhelishvili函数和或Westergaard函数，而这常常是困难的。而且，对于有限边界的裂纹问题以及含体积力的问题，上述方法大都难以实现。事实上，如果我们知道

4、了一种载荷情况下的解（包括应力、应变场、位移和SIF），则可以采用权函数方法求解相同构形但载荷情况不同的应力强度因子和位移场。权函数方法最早是由Bueckner（1970）提出的，后来Rice等人发展了这种方法，吴学仁和Carlsson（1991）用此方法得到了大量的结果。权函数法应力强度因子与裂纹几何和载荷配置有关。权函数法给出了解偶研究这两类影响的途径。针对任一裂纹几何，均可求出适用于该几何的权函数，该裂纹几何在任意载荷下的应力强度因子（乃至位移场）都可由该载荷经权函数加权积分获得。Betti’stheoremMode－I展开已知量，，

5、未知量，，称为权函数法例：权函数方法假设知道第1组载荷下的解，即，，均为已知，则有：求出了和，则可以求出任意载荷组合下的应力强度因子。对于一个特定的裂纹构形，只要知道该构形的任意一个解和（或，），则可以得到一个权函数：从而可以计算其它任何面力载荷和下的应力强度因子：和分别是面力和体力对应力的权函数权函数方法·例子Rice（1972）已证明，由不同的基本解（和）得出的权函数是相同的，即权函数是唯一的（对于所求的同一组载荷情况）。考虑一含中心穿透裂纹的无限大板。基本解取为在无穷远处承受均匀拉应力（垂直于裂纹面的）作用的解，SIF和裂纹张开位移分

6、别为：得权函数为：如果裂纹面上承受任意的分布载荷作用，裂纹右端应力强度因子为：在裂纹上下表面的范围内承受均布压力作用的SIF为：权函数方法·例子在裂纹中心作用一对集中力时，SIF为：只要知道了应力强度因子，则根据权函数唯一的条件，可以得到该载荷下的位移场。叠加方法(略)